生成函数化简技巧

一些重要式子

  • ∑i=0∞xi=11−x\sum_{i=0}^{\infty}x^i=\frac{1}{1-x}i=0xi=1x1
    推论:
    11−ax=∑i=0∞aixi\frac{1}{1-ax}=\sum_{i=0}^{\infty}a^ix^i1ax1=i=0aixi
    11−xk=∑i=0∞xik\frac{1}{1-x^k}=\sum_{i=0}^{\infty}x^{ik}1xk1=i=0xik
    11−cxk=∑i=0∞cixik\frac{1}{1-cx^k}=\sum_{i=0}^{\infty}c^ix^{ik}1cxk1=i=0cixik

  • (1−x)n=∑i=0n(−1)i(ni)xi(1-x)^n=\sum_{i=0}^{n}(-1)^i\dbinom{n}{i}x^i(1x)n=i=0n(1)i(in)xi

  • 1(1−xc)k=(∑i=0∞xic)k=∑i=0∞(i+k−1k−1)xic=∑i=0∞(i+k−1i)xic\frac{1}{(1-x^c)^k}=(\sum_{i=0}^{\infty}x^{ic})^k=\sum_{i=0}^{\infty}\dbinom{i+k-1}{k-1}x^{ic}=\sum_{i=0}^{\infty}\dbinom{i+k-1}{i}x^{ic}(1xc)k1=(i=0xic)k=i=0(k1i+k1)xic=i=0(ii+k1)xic

  • ∑i=1∞xii=ln⁡11−x=−ln⁡(1−x)\sum_{i=1}^{\infty}\frac{x^i}{i}=\ln \frac{1}{1-x}=-\ln (1-x)i=1ixi=ln1x1=ln(1x)

  • ∑i=0∞xii!=ex\sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^i}{i!}=e^xi=0i!xi=ex
    推论:
    ecx=∑i=0∞cixii!e^{cx}=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{c^ix^i}{i!}ecx=i=0i!cixi
    e−x=∑i=0∞(−1)ixii!e^{-x}=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{(-1)^ix^i}{i!}ex=i=0i!(1)ixi
    ex+e−x2=∑i=0∞[2∣i]xii!\frac{e^x+e^{-x}}{2}=\sum_{i=0}^{\infty}[2|i]\frac{x^i}{i!}2ex+ex=i=0[2i]i!xi
    单位根反演

  • (1+x)a=∑i=0∞ai‾xii!(1+x)^a=\sum_{i=0}^{\infty}a^{\underline{i}}\frac{x^i}{i!}(1+x)a=i=0aii!xi

构造幂级数的小技巧

  • 平移:
    在这里插入图片描述
  • 拉伸:
    在这里插入图片描述

常系数其次线性递推

一二阶线性递推数列通项的求法

假设对于数列FFF和递推系数CCC,当n≥kn\geq knk时有∑i=0kC[i]F[n−i]=0\sum_{i=0}^{k}C[i]F[n-i]=0i=0kC[i]F[ni]=0,则称FFF满足 ( kkk阶 ) 线性常系数递推关系。

F(x)F(x)F(x)F[n]F[n]F[n]OGFOGFOGF

考虑构造Ft(x)F_t(x)Ft(x),令[xn]Ft(x)=[n≥k]C[t]F[n−t][x^n]F_t(x)=[n\geq k]C[t]F[n-t][xn]Ft(x)=[nk]C[t]F[nt],则Ft(x)=C[t]xt∑i=k−t∞F[i]xi=C[t]xt(F(x)−∑i=0k−t−1F[i]xi)F_t(x)=C[t]x^t\sum_{i=k-t}^{\infty}F[i]x^i=C[t]x^t(F(x)-\sum_{i=0}^{k-t-1}F[i]x^i)Ft(x)=C[t]xti=ktF[i]xi=C[t]xt(F(x)i=0kt1F[i]xi)

[n≥k]∑i=0kC[i]F[n−i]=0[n\geq k]\sum_{i=0}^{k}C[i]F[n-i]=0[nk]i=0kC[i]F[ni]=0 知,∑t=0kFt(x)=0\sum_{t=0}^{k}F_t(x)=0t=0kFt(x)=0,即
∑t=0kC[t]xt(F(x)−∑i=0k−t−1F[i]xi)=0\sum_{t=0}^{k}C[t]x^t(F(x)-\sum_{i=0}^{k-t-1}F[i]x^i)=0t=0kC[t]xt(F(x)i=0kt1F[i]xi)=0
(∑t=0kC[t]xt)F(x)=∑t=0k−1C[t]xt∑i=0k−t−1F[i]xi(\sum_{t=0}^{k}C[t]x^t)F(x)=\sum_{t=0}^{k-1}C[t]x^t\sum_{i=0}^{k-t-1}F[i]x^i(t=0kC[t]xt)F(x)=t=0k1C[t]xti=0kt1F[i]xi
能够发现左侧出现了一次CCC的生成函数,设为C(x)C(x)C(x)。右侧的余项,次数小于 kkk,设为P(x)P(x)P(x)

则得到C(x)F(x)=P(x)C(x)F(x)=P(x)C(x)F(x)=P(x),即F(x)=P(x)C(x)F(x)=\frac{P(x)}{C(x)}F(x)=C(x)P(x)

分式分解

这里介绍的是作用类似的代替品。

考虑找出 k,pk,pk,p 使得 C(x)∣(1−xk)pC(x)∣(1-x^k)^pC(x)(1xk)p,记A(x)=(1−xk)pC(x)A(x)=\frac{(1-x^k)^p}{C(x)}A(x)=C(x)(1xk)p

F(x)=A(x)P(x)(1−xk)pF(x)=\frac{A(x)P(x)}{(1-x^k)^p}F(x)=(1xk)pA(x)P(x)A(x)P(x)A(x)P(x)A(x)P(x)(1−xk)p(1−x^k)^p(1xk)p 的卷积是容易被表示的。

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