生成函数化简技巧

一些重要式子

$∑i=0∞xi=11−x\sum_{i=0}^{\infty}x^i=\frac{1}{1-x}$
推论：
$11−ax=∑i=0∞aixi\frac{1}{1-ax}=\sum_{i=0}^{\infty}a^ix^i$
$11−xk=∑i=0∞xik\frac{1}{1-x^k}=\sum_{i=0}^{\infty}x^{ik}$
$11−cxk=∑i=0∞cixik\frac{1}{1-cx^k}=\sum_{i=0}^{\infty}c^ix^{ik}$
$(1−x)n=∑i=0n(−1)i(ni)xi(1-x)^n=\sum_{i=0}^{n}(-1)^i\dbinom{n}{i}x^i$
$1(1−xc)k=(∑i=0∞xic)k=∑i=0∞(i+k−1k−1)xic=∑i=0∞(i+k−1i)xic\frac{1}{(1-x^c)^k}=(\sum_{i=0}^{\infty}x^{ic})^k=\sum_{i=0}^{\infty}\dbinom{i+k-1}{k-1}x^{ic}=\sum_{i=0}^{\infty}\dbinom{i+k-1}{i}x^{ic}$
$∑i=1∞xii=ln⁡11−x=−ln⁡(1−x)\sum_{i=1}^{\infty}\frac{x^i}{i}=\ln \frac{1}{1-x}=-\ln (1-x)$
$∑i=0∞xii!=ex\sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^i}{i!}=e^x$
推论：
$ecx=∑i=0∞cixii!e^{cx}=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{c^ix^i}{i!}$
$e−x=∑i=0∞(−1)ixii!e^{-x}=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{(-1)^ix^i}{i!}$
$ex+e−x2=∑i=0∞[2∣i]xii!\frac{e^x+e^{-x}}{2}=\sum_{i=0}^{\infty}[2|i]\frac{x^i}{i!}$
单位根反演
$(1+x)a=∑i=0∞ai‾xii!(1+x)^a=\sum_{i=0}^{\infty}a^{\underline{i}}\frac{x^i}{i!}$

构造幂级数的小技巧

平移：
拉伸：

常系数其次线性递推

一二阶线性递推数列通项的求法

假设对于数列 $F$ 和递推系数 $C$ ，当 $n≥kn\geq k$ 时有 $∑i=0kC[i]F[n−i]=0\sum_{i=0}^{k}C[i]F[n-i]=0$ ，则称 $F$ 满足 ( $k$ 阶 ) 线性常系数递推关系。

令 $F (x)$ 为 $F [n]$ 的 $O G F$ 。

考虑构造 $F_t(x)$ ，令 $[xn]Ft(x)=[n≥k]C[t]F[n−t][x^n]F_t(x)=[n\geq k]C[t]F[n-t]$ ，则 $Ft(x)=C[t]xt∑i=k−t∞F[i]xi=C[t]xt(F(x)−∑i=0k−t−1F[i]xi)F_t(x)=C[t]x^t\sum_{i=k-t}^{\infty}F[i]x^i=C[t]x^t(F(x)-\sum_{i=0}^{k-t-1}F[i]x^i)$

由 $[n≥k]∑i=0kC[i]F[n−i]=0[n\geq k]\sum_{i=0}^{k}C[i]F[n-i]=0$ 知， $∑t=0kFt(x)=0\sum_{t=0}^{k}F_t(x)=0$ ，即
$∑t=0kC[t]xt(F(x)−∑i=0k−t−1F[i]xi)=0\sum_{t=0}^{k}C[t]x^t(F(x)-\sum_{i=0}^{k-t-1}F[i]x^i)=0$
$(∑t=0kC[t]xt)F(x)=∑t=0k−1C[t]xt∑i=0k−t−1F[i]xi(\sum_{t=0}^{k}C[t]x^t)F(x)=\sum_{t=0}^{k-1}C[t]x^t\sum_{i=0}^{k-t-1}F[i]x^i$
能够发现左侧出现了一次 $C$ 的生成函数，设为 $C (x)$ 。右侧的余项，次数小于 $k$ ，设为 $P (x)$ 。