正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P6097

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题目大意

长度为$2^n$的序列$a,b$求一个$c$满足
$$c_k=\sum _{i|j=k,i\&j=\varnothing }{a}_i\times b_j$$

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解题思路

从炫酷反演魔术过来的，顺便写掉这题

简单的说就是求$k$的所有子集和其补集的乘积和。
只有$i|j=k$的话就是普通的$\text{FWT}$了，但是还有$i\&j=\varnothing$这个东西。
一个巧妙的想法是把这个条件转换为$|i|+|j|=|i\cup j|$，显然两个之间是充要的。
然后可以把$a_i$存在$f_{ct(i),i}$这个位置，其中$ct(i)$表示$i$中$1$的个数。同理$b_i$存在$g_{ct(i),i}$这个位置。

然后就有卷积
$$h_{a,b}=\sum _{i+j=a,x|y=b}{f}_{i,x}\times g_{j,y}$$
这个先暴力$\text{FWT}$了$f,g$然后暴力卷积然后$\text{IFWT}$回去就好了。

时间复杂度$O(n^2{2}^n)$，不能全开$\text{long long}$不然会$\text{T}$的

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=21,P=1e9+9;
int n,k,ct[1<<N],f[N][1<<N],g[N][1<<N],h[N][1<<N];
void FWT(int *f,int op){for(int p=2;p<=n;p<<=1)for(int k=0,len=p>>1;k<n;k+=p)for(int i=k;i<k+len;i++)(f[i+len]+=(f[i]*op+P)%P)%=P;return;
}
signed main()
{// printf("%d",sizeof(f)>>20);scanf("%d",&k);n=(1<<k);for(int i=0;i<n;i++){if(i)ct[i]=ct[i-(i&-i)]+1;scanf("%d",&f[ct[i]][i]);}for(int i=0;i<n;i++)scanf("%d",&g[ct[i]][i]);for(int i=0;i<=k;i++)FWT(f[i],1),FWT(g[i],1);for(int i=0;i<=k;i++)for(int j=0;j<=i;j++)for(int x=0;x<n;x++)(h[i][x]+=1ll*f[j][x]*g[i-j][x]%P)%=P;for(int i=0;i<=k;i++)FWT(h[i],-1);for(int i=0;i<n;i++)printf("%d ",h[ct[i]][i]);return 0;
}