正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/CF605E

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题目大意

给出$n$个点的一张完全有向图，每一天$i$到$j$的路径有$p_{i,j}$的概率出现。
询问从$1$出发走到$n$在最优策略下的期望天数。

$1\le n\le 10^3,p_{i,i}=1$

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解题思路

设$g_i$表示从$i$到$n$的答案，那么$g$满足式子
$$g_i=\sum _{j=1}^n\frac{g_j}{{\prod }_{g_k<g_j}(1-p_{j,k})}\times p_{i,j}\times \prod _{g_k<g_j}(1-p_{i,k})$$
注意到里面有条件$g_k<g_j$，但是我们并不知道$g$，好像就死循环了。

但是我们可以知道$g_n$肯定是最小的而且是$0$，然后剩下第二小的只会受到$g_n$的影响，也就是这个里面有一个的$g$是完整的。

可以猜测这个第二小的肯定是剩下的$g$里面最小的那个，因为如果不是，那么显然不满足我们最小化的条件，从一个更大的走到了本应该可以更小的。

所以我们每次剩下的点中找到一个最小的$\frac{g_j}{{\prod }_{g_k<g_j}(1-p_{j,k})}$来更新它对其他点的影响即可。

时间复杂度$O(n^2)$

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1100;
int n;bool v[N];
double p[N][N],prod[N],f[N];
int main()
{scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++){scanf("%lf",&p[i][j]);p[i][j]/=100.0;}}if(n==1)return puts("0")&0;for(int i=1;i<n;i++)prod[i]=1-p[i][n],f[i]=1;v[n]=1;while(1){double low=1e9;int x;for(int i=1;i<=n;i++)if(f[i]/(1-prod[i])<low&&!v[i])low=f[i]/(1-prod[i]),x=i;if(x==1)return printf("%.10lf",low)&0;v[x]=1;for(int i=1;i<=n;i++){if(v[i])continue;f[i]+=low*p[i][x]*prod[i];prod[i]*=(1-p[i][x]);}}return 0;
}