正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P3214

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题目大意

一个由$1\sim n$的所有整数构成的集合$S$，求出它的$m$个不同非空子集满足每个元素都出现了偶数次。

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解题思路

集合的话不用考虑顺序，可以输出有序的答案除以$m!$就好了。

选$i$个的话，考虑偶数次的条件，无论前面$i-1$个集合如何选取，最后一个都能根据情况调整过来，所以不考虑重复的话方案就是$P_{2^n}^{i-1}$
设$f_i$表示选出$i$个集合的答案，因为上面那种方案可能会导致最后一个集合出现重复等问题，我们要减去不合法的。

首先有可能是空集，那么表示前面$i-1$个集合都是合法的，所以方案是$f_{i-1}$。然后是重复，考虑和它重复的集合$j$，那么剩下$i-2$个就是合法的，然后这两个重复的集合有$2^n-(i-2)-1$种取值（减去空集和前面出现过的），方案就是$f_{i-2}\times (i-1)\times (2^n-i+1)$

所以方程就是$$f_i=P_{2^n}^{i-1}-f_{n-1}-f_{n-2}\times (i-1)\times (2^n-i+1)$$

$O(n)$转移即可。

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=1e6+10,P=1e8+7;
ll n,m,A[N],f[N];
ll power(ll x,ll b){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*x%P;x=x*x%P;b>>=1;}return ans;
}
signed main()
{scanf("%lld%lld",&m,&n);ll p=1;for(ll i=1;i<=m;i++)p=p*2ll%P;ll fac=1;A[0]=1;for(ll i=1;i<=n;i++)A[i]=A[i-1]*(p-i)%P,fac=fac*i%P;f[0]=1;for(ll i=2;i<=n;i++)f[i]=(A[i-1]-f[i-1]-f[i-2]*(i-1)%P*(p-i+1)%P)%P;f[n]=f[n]*power(fac,P-2)%P;printf("%lld\n",(f[n]+P)%P);return 0;
}