这题的思想和P4564 [CTSC2018]假面优化的思想一样，应该反过来说，假面那个题应该是借鉴这题的思路。

显然不能枚举每个物品消失$O(n)$，然后跑背包$O(nm)$

预处理dp
$f_j$表示$n$个物品装满体积为$j$的背包的方案数。
$g_{i,j}$表示除了第$i$个物品其他$n-1$个物品装满体积为$j$的背包的方案数。

显然$f_j=g_{i,j}+g_{i,j-v_i}$，于是$g_{i,j}=f_j+g_{i,j-v_i}$

预处理$f_j$后我们可以$O(n)$递推$g_{i,j}$（g数组第一维显然没有必要）

#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;
constexpr int N=2010;
int n,m;
int f[N],g[N];
int v[N];
int main()
{ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);cout.tie(nullptr);cin>>n>>m;for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i];f[0]=1;for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=m;j>=v[i];j--)f[j]=(f[j]+f[j-v[i]])%10;for(int i=1;i<=n;i++){memset(g,0,sizeof g);for(int j=0;j<v[i];j++) g[j]=f[j];for(int j=v[i];j<=m;j++) g[j]=((f[j]-g[j-v[i]])%10+10)%10;for(int j=1;j<=m;j++) cout<<g[j];cout<<'\n';}return 0;
}

上面的trick非常巧妙，但是下面有一种方法，不如说是一种框架——分治 更值得去学习掌握。

寒假训练的时候就有一个分治的问题
XVIII Open Cup named after E.V. Pankratiev. Eastern Grand Prix K. King and ICPC不过现在没有oj测评没法补了~~就补个这个题吧（虽然分治里面不一样，不过都是分治的框架）

LinnBlanc题解分治背包

//O(nmlogn)
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;
constexpr int N=2010;
int n,m;
int v[N],f[15][N];
void solve(int u,int l,int r)
{if(l==r) {for(int j=1;j<=m;j++) cout<<f[u-1][j];cout<<'\n';return;}int mid=l+r>>1;for(int j=0;j<=m;j++) f[u][j]=f[u-1][j];for(int i=mid+1;i<=r;i++)for(int j=m;j>=v[i];j--)f[u][j]+=f[u][j-v[i]],f[u][j]%=10;solve(u+1,l,mid);for(int j=0;j<=m;j++) f[u][j]=f[u-1][j];for(int i=l;i<=mid;i++)for(int j=m;j>=v[i];j--)f[u][j]+=f[u][j-v[i]],f[u][j]%=10;solve(u+1,mid+1,r);}
int main()
{ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);cout.tie(nullptr);cin>>n>>m;for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i];f[0][0]=1;solve(1,1,n);return 0;
}

upd:2021/3/8 下面题目效仿上面分治的做法即可

同样可能少一个物品，按照上面分治的思路预处理少某个物品的背包即可。

多重背包->二进制优化（单调队列不会，难写）

时间复杂度$O(nm{\log }^{2}n+q)$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll=long long;
constexpr int N=1010;
int n,m,q;
int v[N*10],w[N*10],cnt;
int L[N],R[N];
int f[15][N],ans[N][N];
void update(int u,int l,int r)
{for(int i=L[l];i<=R[r];i++)for(int j=m;j>=v[i];j--)f[u][j]=max(f[u][j],f[u][j-v[i]]+w[i]);
}
void solve(int u,int l,int r)
{if(l==r) return memcpy(ans[l],f[u-1],sizeof(ans[l])),void();int mid=l+r>>1;memcpy(f[u],f[u-1],sizeof(f[u]));update(u,mid+1,r);solve(u+1,l,mid);memcpy(f[u],f[u-1],sizeof(f[u]));update(u,l,mid);solve(u+1,mid+1,r);
}int main()
{ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);cout.tie(nullptr);cin>>n;m=1000;for(int i=1;i<=n;i++){int a,b,c;cin>>a>>b>>c;L[i]=cnt+1;int k=1;while(k<=c){v[++cnt]=k*a;w[cnt]=k*b;c-=k;k*=2;}if(c) {v[++cnt]=c*a;w[cnt]=c*b;}R[i]=cnt;}solve(1,1,n);cin>>q;while(q--){int d,e;cin>>d>>e;++d;cout<<ans[d][e]<<'\n';}return 0;
}