情境

大家应该都知道用nlogn的时间复杂度筛出[1,n]的所有素数，但是当n的范围较大时，这个方法就不奏效了
今天我们谈谈素数的线性筛法，也就是用On的时间复杂度筛出[1,n]的所有素数

解析

nlog的算法之所以会慢，是因为它进行了很多重复的操作
比如，24可能就被筛了很多遍
那么我们优化复杂度的思路就是尝试避免这些重复操作
也就是让每个合数只被筛一次
怎么做呢？
我们让每个合数只会被自己的最小质因数筛到
先看一下代码：

代码

void solve(){for(int i=2;i<=n;i++){if(v[i]==0){//还没被筛到就是素数了prime[++tot]=i;v[i]=i;}for(int j=1;j<=tot;j++){ll now=prime[j];if(now>v[i]||now*i>n) break;//now*i>n就是超出范围了，显然也不要了v[now*i]=now;}}return;
}

其中：

v[i]数组表示i的最小质因数
prime是素数表

代码是怎么做的？
枚举每一个数，再枚举已有的素数，只要当前素数还不大于自己的最小质因数，就一直用它筛
这个算法可以说是：

巧夺天工

为什么这样是对的呢？
接下来我们来证明一下这么做为什么就能不重不漏的筛出所有素数

证明

我们要证明两部分：不重、不漏

不漏

会不会少筛一些合数？
假设有一个合数a，那么它一定有一个不等于它本身的最小质因数
也就是说，存在：

a=v*k(v为质数且v<k)

显然v不会大于k的最小质因数，否则k的那个最小质因数就也是a的最小质因数了
那么我们在代码中循环枚举到k时，显然就会用质数表中已经有的v把a筛出来

不重

考虑反证法
假设代码过程中存在i与素数now，使得：

now*i=a;

且a的最小的质因数比i还小
不妨还设这个最小质因数为v
由于now已经是素数，所以这个v一定是i的一个因数
也就是说i存在一个质因数且小于now
那么now就一定比i的最小质因数大了
就会在前面的判断中break出去
证毕