概率论:多维随机变量及分布

多维随机变量及分布

X X X为随机变量, ∀ x ∈ R , P { X ≤ x } = F ( x ) \forall x\in R,P\{X\le x\}=F(x) xR,P{Xx}=F(x)
F ( x ) F(x) F(x) X X X的分布函数,则
(1) 0 ≤ F ( x ) ≤ 1 0\le F(x)\le1 0F(x)1
(2) F ( x ) F(x) F(x)不减
(3) F ( x ) F(x) F(x)右连续
(4) F ( − ∞ ) = 0 , F ( + ∞ ) = 1 F(-\infin)=0,F(+\infin)=1 F()=0,F(+)=1

二维随机变量及分布

1.基本概念
二维随机变量, E E E为随机实验, Ω \Omega Ω为样本空间,若 ∀ ω ∈ Ω \forall\omega\in\Omega ωΩ ∃ \exists 唯一一对实数 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y) ω \omega ω对应,称 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)为二维随机变量
2.分布函数
(1) ∀ x , y ∈ R , P { X ≤ x , Y ≤ y } = F ( x , y ) \forall x,y\in R,P\{X\le x,Y\le y\}=F(x,y) x,yR,P{Xx,Yy}=F(x,y)
(2) ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)为二维随机变量
P { X ≤ x } = F X ( x ) P\{X\le x\}=F_X(x) P{Xx}=FX(x), X X X的边缘分布函数
P { Y ≤ y } = F Y ( y ) P\{Y\le y\}=F_Y(y) P{Yy}=FY(y), Y Y Y的边缘分布函数
(3) ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)为二维随机变量
F ( x , y ) F(x,y) F(x,y)为二维随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的联合分布函数,则
(1) 0 ≤ F ( x , y ) ≤ 1 0\le F(x,y)\le1 0F(x,y)1
(2) F ( x , y ) F(x,y) F(x,y)关于 x , y x,y x,y不减
(3) F ( x ) F(x) F(x)关于 x , y x,y x,y右连续
(4) F ( − ∞ , − ∞ ) = 0 , F ( − ∞ , + ∞ ) = 0 , F ( + ∞ , − ∞ ) = 0 F(-\infin,-\infin)=0,F(-\infin,+\infin)=0,F(+\infin,-\infin)=0 F(,)=0,F(,+)=0,F(+,)=0
F ( + ∞ , + ∞ ) = 1 F(+\infin,+\infin)=1 F(+,+)=1

二维离散型变量及分布

1.二维离散型变量
( X , Y ) (X,Y) (X,Y)为二维随机变量,若 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)可能取值为有限个或可列个,称 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)为二维离散型变量
2.二维离散型变量联合分布律与边缘分布律
( X , Y ) (X,Y) (X,Y)为二维联合分布函数为 P { X ≤ x , Y ≤ y } = F ( x , y ) P\{X\le x,Y\le y\}=F(x,y) P{Xx,Yy}=F(x,y)
∃ f ( x , y ) ≥ 0 \exists f(x,y)\ge 0 f(x,y)0使得 ∫ − ∞ x d x ∫ − ∞ y f ( x , y ) d y = F ( x , y ) \int_{-\infin}^{x}dx\int_{-\infin}^yf(x,y)dy=F(x,y) xdxyf(x,y)dy=F(x,y)
( X , Y ) (X,Y) (X,Y)为二维连续型变量, f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)称为 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的联合密度函数( f ( x , y ) ≥ 0 且 ∫ − ∞ ∞ d x ∫ − ∞ ∞ f ( x , y ) d y = 1 f(x,y)\ge0且\int_{-\infin}^{\infin}dx\int_{-\infin}^{\infin}f(x,y)dy=1 f(x,y)0dxf(x,y)dy=1
∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d y = f X ( x ) \int_{-\infin}^{+\infin}f(x,y)dy=f_X(x) +f(x,y)dy=fX(x) X X X的边缘密度函数
∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d x = f Y ( y ) \int_{-\infin}^{+\infin}f(x,y)dx=f_Y(y) +f(x,y)dx=fY(y) Y Y Y的边缘密度函数

二维连续型变量均匀分布

定义 D D D x o y xoy xoy面内有限区域,其面积为 A A A。若二维连续型随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的联合密度为
f ( x , y ) = { 1 A , ( x , y ) ∈ D 0 , ( x , y ) ∉ D f(x,y)=\left\{ \begin{array}{l} \frac 1 A,(x,y)\in D \\0,(x,y)\notin D \end{array} \right. f(x,y)={A1,(x,y)D0,(x,y)/D
( X , Y ) (X,Y) (X,Y) D D D上服从均匀分布,记 ( X , Y ) ∼ U ( D ) (X,Y)\sim U(D) (X,Y)U(D)

二维正太分布

( X , Y ) (X,Y) (X,Y)为二维连续型随机变量,若 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的联合密度函数为
f ( x , y ) = 1 2 π σ 1 σ 2 1 − ρ 2 e 1 − 2 ( 1 − ρ 2 ) [ ( x − μ 1 ) 2 σ 1 2 − 2 ρ x − μ 1 σ 1 y − μ 2 σ 2 + ( y − μ 2 ) 2 σ 2 2 ] f(x,y)=\frac 1 {2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}}e^{\frac 1 {-2(1-\rho^2)}[\frac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}-2\rho\frac{x-\mu_1}{\sigma_1}\frac{y-\mu_2}{\sigma_2}+\frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}]} f(x,y)=2πσ1σ21ρ2 1e2(1ρ2)1[σ12(xμ1)22ρσ1xμ1σ2yμ2+σ22(yμ2)2]
( X , Y ) (X,Y) (X,Y)服从以 μ 1 , μ 2 , σ 1 2 , σ 2 2 , ρ \mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2,\rho μ1,μ2,σ12,σ22,ρ为参数的二维正太分布,记 ( X , Y ) ∼ N ( μ 1 , μ 2 , σ 1 2 , σ 2 2 , ρ ) (X,Y)\sim N(\mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2,\rho) (X,Y)N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ)

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