正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/AT2366

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题目大意

有一个长度为$2n-1$的序列$a$，你可以将其重新排列，定义$b_i$为$a_{1\sim 2i-1}$的中位数。

询问有多少种不同的可能的$b$序列。

$1\le n\le 50$

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解题思路

先假设$a$中所有数字都不同，我们去考虑一下$b$的限制。

相当于我们每次在$a_i$中加入两个数字$x,y$，然后如果$x,y$都小于最后一个$b$则新的$b$取它在$a$中的前驱，如果都大于则取后继，如果一大一小则不动。

基于这个限制我们得到的条件是每次$b_i$加入数字之后的排名只能变动一位，这是充要的。

考虑去形式化这个条件，将$a$排序后，我们有：

• $a_{n-i+1}\le b_i\le a_{n+i-1}$
• 不存在$j<i$满足$b_i<b_j<b_{i+1}$或$b_{i+1}<b_j<b_i$

这样我们其实并不需要考虑$a$填的情况，如果$b$一次向外跨过了很多个$a$，那么我们可以视这些$a$此时还没有加入，我们只需要限制往内跨的情况出现就好了。

不过这第二个条件依旧不好处理，我们考虑倒着做，那当我们确定一个$b_i$和$b_{i+1}$之后，相当于$(b_i,b_{i+1})$之间的数字就都不能选择了。

考虑$dp$，设$f_{i,l,r}$表示目前填了$i$个，对于现在的$b_i$来说，左边还剩下$l$个位置，右边还剩下$r$个位置。

然后每次加入两边的$a_i$，如果$a_l=a_{l+1}$，那么我们将其视为同一个，右边同理。

时间复杂度：$O(n^4)$

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=110,P=1e9+7;
ll n,m,a[N],f[N][N][N];
signed main()
{scanf("%lld",&n);m=2*n-1;for(ll i=1;i<=m;i++)scanf("%lld",&a[i]);sort(a+1,a+m+1);f[n][0][0]=1;for(ll i=n-1;i>=1;i--){ll l=i,r=2*n-i;ll dl=(a[l]!=a[l+1]),dr=(a[r]!=a[r-1]);for(ll l=0;l<=m;l++)for(ll r=0;r<=m;r++){if(!f[i+1][l][r])continue;(f[i][l+dl][r+dr]+=f[i+1][l][r])%=P;for(ll k=0;k<l+dl;k++)(f[i][k][r+dr+1]+=f[i+1][l][r])%=P;for(ll k=0;k<r+dr;k++)(f[i][l+dl+1][k]+=f[i+1][l][r])%=P;}}ll ans=0;for(ll i=0;i<=m;i++)for(ll j=0;j<=m;j++)(ans+=f[1][i][j])%=P;printf("%lld\n",ans);return 0;
}