树状数组

用于快速高效的计算与前缀和相关的信息

lowbit

int lowbit( int i ) { return i & -i; }

$\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{b}\mathrm{i}\mathrm{t}$：返回$x$二进制最低位为$1$的位置的值

e.g. 40=101000，lowbit(40)=8

线段树与树状数组

因为涉及$\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{b}\mathrm{i}\mathrm{t}$，所以树状数组的下标一定从$1$开始，而不是$0$

线段树用mid=(l+r)>>1进行$\log$的优化

树状数组的通过$\pm \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{b}\mathrm{i}\mathrm{t}(\mathrm{i})$进行二进制位的进/退$1$

时间复杂度同样都是$O(n\log n)$

但一般来说树状数组的空间都是$O(N)$，不会像线段树有$N<<2$的大空间

线段树因为其结构原因有更多的应用：优化建图，线段树分治$...$

但是树状数组就比较死板了，就是跟静态区间/单点挂钩

那么应用广点，消耗的代价（更大空间）多点也是可以理解的了

很多情况下树状数组和线段树没有什么区别，可以互换

单点修改

void add( int i, int val ) {for( ;i <= n;i += lowbit( i ) )t[i] += val;
}

区间查询

int query( int i ) {//求的是[1,i]的前缀和int ans = 0;for( ;i;i -= lowbit( i ) ) ans += t[i];return ans;
}
int query( int l, int r ) {return query( r ) - query( l - 1 );
}

一般的写法都是维护前缀和，所以修改是$+\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{b}\mathrm{i}\mathrm{t}$，查询是$-\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{b}\mathrm{i}\mathrm{t}$

但有些时候题目反而是跟后缀挂钩，这个时候有两种选择

• 强制后缀转前缀

  每次传入$i$的时候，暴力变成$i=n-i+1$，然后进行add query的操作

• 直接反转使用树状数组

  修改直接$-\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{b}\mathrm{i}\mathrm{t}$，查询$+\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{b}\mathrm{i}\mathrm{t}$

只要维护了意义上的相对即可

区间修改

原序列$a_1,a_2,...,a_n$，定义差分数组$c_i=a_i-a_{i-1}$， 则$a_i={\sum }_{j=1}^i{c}_j$

那么修改区间$[l,r]$，加上$w$，相当于在$c_l$加$w$，在$c_{r+1}$减$w$

这就将区间修改转化成了两次的单点修改

达到$[l,r]$区间的数加$w$的效果

区间求和

$$\begin{gathered} \sum _{i=1}^n{a}_i=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^i{c}_j=\sum _{i=1}^n(n-i+1)c_i \\ =(c_1)+(c_1+c_2)+...+(c_1+c_2+...+c_n) \end{gathered}$$

$$=(n+1)\ast (c_1+c_2+...+c_n)-(\stackrel{1}{\overbrace{c_1}}+\stackrel{2}{\overbrace{c_2+c_2}}+...\stackrel{n}{\overbrace{+c_n+c_n}})$$

$$=(n+1)\ast \sum _{i=1}^n{c}_i-\sum _{i=1}^n{c}_i\ast i$$
所以只需要用两个树状数组，分别维护$c_i$和$c_i\ast i$即可

LOJ：区间修改区间查询

#include <cstdio>
#define int long long
#define maxn 1000005
int n, Q;
int a[maxn], t1[maxn], t2[maxn];int lowbit( int x ) { return x & -x; }void modify( int x, int val ) {for( int i = x;i <= n;i += lowbit( i ) )t1[i] += val, t2[i] += val * x;
}int query( int x ) {int ans = 0;for( int i = x;i;i -= lowbit( i ) )ans += ( x + 1 ) * t1[i] - t2[i];return ans;
}signed main() {scanf( "%lld %lld", &n, &Q );for( int i = 1;i <= n;i ++ ) {scanf( "%lld", &a[i] );modify( i, a[i] - a[i - 1] );}int opt, l, r, x;while( Q -- ) {scanf( "%lld %lld %lld", &opt, &l, &r );if( opt & 1 ) {scanf( "%lld", &x );modify( l, x ), modify( r + 1, -x );}else printf( "%lld\n", query( r ) - query( l - 1 ) );}return 0;
}

二维树状数组

既然树状数组是前缀和的工具，那么二维树状数组就相当于与二维差分

树状数组嵌树状数组的感觉，查询就是用二维差分计算围成的面积

void modify( int x, int y, int val ) {for( int i = x;i <= n;i += lowbit( i ) )for( int j = y;j <= m;j += lowbit( j ) )t[i][j] += val;
}
int query( int x, int y ) {int ans = 0;for( int i = x;i;i -= lowbit( i ) )for( int j = y;j;j -= lowbit( j ) )ans += t[i][j];return ans;
}modify( x1, y1, k );
query( x2, y2 ) - query( x2, y1 - 1 ) - query( x1 - 1, y2 ) + query( x1 - 1, y1 - 1 );

离线树状数组

离线树状数组求区间不同数的个数/值和

都是将询问按照$\mathrm{l},\mathrm{r}$排序，然后记录$i$的上一个/下一个位置

将指针拨到询问的端点处，删去上一个位置/加入下一个位置

从而做到$1$的个数差，满足不同数只记录一次的要求，自然树状数组就能维护

例题的最后两题就是如此，看代码比较清晰能够理解

例题

POJ：stars

POJ2352

题目已经保证了$y$递增，那么树状数组维护$x$，每次查询比$x$小的星星有多少个即可

#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
#define maxn 32005
int n, N;
int ans[maxn], t[maxn], x[maxn], y[maxn];int lowbit( int i ) { return i & -i; }void modify( int i ) {for( ;i <= N;i += lowbit( i ) ) t[i] ++;
}int query( int i ) {int ret = 0;for( ;i;i -= lowbit( i ) ) ret += t[i];return ret;
}int main() {scanf( "%d", &n );for( int i = 1;i <= n;i ++ ) {scanf( "%d %d", &x[i], &y[i] );x[i] ++, y[i] ++, N = max( N, x[i] );//x,y值域包含0 树状数组不能从0开始 所以整体+1}for( int i = 1;i <= n;i ++ )ans[query( x[i] )] ++, modify( x[i] );for( int i = 0;i < n;i ++ )printf( "%d\n", ans[i] );return 0;
}

MooFest

POJ1990

按$v$排序，维护两个树状数组，一个是小于当前位置的位置和，一个是大于当前位置的位置和，这样就避免了距离带的绝对值

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define int long long
#define maxn 20005
struct node {int val, pos;node(){}node( int Val, int Pos ) {val = Val, pos = Pos;}
}cow[maxn];
struct Node {int cnt, sumd;Node(){}Node( int Cnt, int Sumd ) {cnt = Cnt, sumd = Sumd;}
}t1[maxn], t2[maxn];
int n, N;int lowbit( int i ) { return i & -i; }void modify1( int i, int val ) {for( ;i <= N;i += lowbit( i ) )t1[i].cnt ++, t1[i].sumd += val;
}void modify2( int i, int val ) {for( ;i;i -= lowbit( i ) )t2[i].cnt ++, t2[i].sumd += val;
}Node query1( int i ) {Node ans( 0, 0 );for( ;i;i -= lowbit( i ) )ans.cnt += t1[i].cnt, ans.sumd += t1[i].sumd;return ans;
}Node query2( int i ) {Node ans( 0, 0 );for( ;i <= N;i += lowbit( i ) )ans.cnt += t2[i].cnt, ans.sumd += t2[i].sumd;return ans;
}bool cmp( node x, node y ) { return x.val < y.val; } signed main() {scanf( "%lld", &n );for( int i = 1;i <= n;i ++ ) {scanf( "%lld %lld", &cow[i].val, &cow[i].pos );N = max( cow[i].pos, N );}N ++;sort( cow + 1, cow + n + 1, cmp );int ans = 0;for( int i = 1;i <= n;i ++ ) {Node t = query1( cow[i].pos );ans += ( cow[i].pos * t.cnt - t.sumd ) * cow[i].val;t = query2( cow[i].pos );ans += ( t.sumd - t.cnt * cow[i].pos ) * cow[i].val;modify1( cow[i].pos, cow[i].pos );modify2( cow[i].pos, cow[i].pos );}printf( "%lld\n", ans );return 0;
}

[SDOI2009]HH的项链

Luogu1972

离线树状数组求区间不同数个数

将询问按$l$排序，对于每个位置$i$记录下一个与该位置值相等的位置，每一次到$i$就把下一次的位置加进去

询问区间左端点以前的自然都要加，这样区间查询相减，就知道下一次的位置在不在区间内，就恰好为$1$

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define maxn 1000005
struct node {int l, r, id;
}q[maxn];
int n, m;
int a[maxn], t[maxn], lst[maxn], nxt[maxn], ans[maxn];
bool vis[maxn];void read( int &x ) {x = 0; char s = getchar();while( s < '0' or s > '9' ) s = getchar();while( '0' <= s and s <= '9' ) {x = ( x << 1 ) + ( x << 3 ) + ( s ^ 48 );s = getchar();}
}int lowbit( int i ) { return i & -i; }void add( int i ) {for( ;i < maxn;i += lowbit( i ) ) t[i] ++;
}int query( int i ) {int ret = 0;for( ;i;i -= lowbit( i ) ) ret += t[i];return ret;
}int main() {read( n );for( int i = 1;i <= n;i ++ ) read( a[i] );read( m );for( int i = 1;i <= m;i ++ ) read( q[i].l ), read( q[i].r ), q[i].id = i;sort( q + 1, q + m + 1, []( node x, node y ) { return x.l < y.l; } );for( int i = 1;i <= n;i ++ )if( ! vis[a[i]] ) add( i ), vis[a[i]] = 1;for( int i = n;i;i -- ) {if( ! lst[a[i]] ) nxt[i] = maxn;else nxt[i] = lst[a[i]];lst[a[i]] = i;}int pos = 1;for( int i = 1;i <= m;i ++ ) {while( pos < q[i].l ) add( nxt[pos] ), pos ++;ans[q[i].id] = query( q[i].r ) - query( q[i].l - 1 );}for( int i = 1;i <= m;i ++ )printf( "%d\n", ans[i] );return 0;
}

Turing Tree

HDU3333

离线树状数组求区间不同数的和

与不同数的个数一致的思路，这里值域比较大，就记录下标

按照$r$排序也可

#include <map>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define maxn 30005
#define maxm 100005
#define int long long
struct node {int l, r, id;
}q[maxm];
map < int, int > lst;
int T, n, m;
int a[maxn], t[maxn], ans[maxm];int lowbit( int i ) { return i & -i; }void add( int i, int val ) {for( ;i <= n;i += lowbit( i ) ) t[i] += val;
}int query( int i ) {int ret = 0;for( ;i;i -= lowbit( i ) ) ret += t[i];return ret;
}signed main() {scanf( "%lld", &T );while( T -- ) {scanf( "%lld", &n );for( int i = 1;i <= n;i ++ )scanf( "%lld", &a[i] ), t[i] = 0;scanf( "%lld", &m );for( int i = 1;i <= m;i ++ )scanf( "%lld %lld", &q[i].l, &q[i].r ), q[i].id = i;sort( q + 1, q + m + 1, []( node x, node y ) { return x.r < y.r; } );lst.clear();int j = 1;for( int i = 1;i <= m;i ++ ) {for( ;j <= q[i].r;j ++ ) {if( lst[a[j]] ) add( lst[a[j]], -a[j] );add( j, a[j] ), lst[a[j]] = j;}ans[q[i].id] = query( q[i].r ) - query( q[i].l - 1 );}for( int i = 1;i <= m;i ++ )printf( "%lld\n", ans[i] );}return 0;
}

Counting Sequences

HDU3450

很简单的$dp$转移都能想到

$d{p}_i:$ 最后一位选$i$的完美子序列个数，$cn{t}_i:i$前面与$i$距离不超过$d$的个数

则$d{p}_i={\sum }_{j,|x_i-x_j|\le d}d{p}_j+cn{t}_i$

因为规定个数至少要是$2$，但$j$成为第一个和后面的$i$组成新$1$个子序列是不会被计算在$d{p}_j$里面的，所以单独开一个$cnt$记录

用值域树状数组维护，查询$\mathrm{q}\mathrm{u}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{y}(\mathrm{x}+\mathrm{d})-\mathrm{q}\mathrm{u}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{y}(\mathrm{x}-\mathrm{d}-1)$

但是这道题的难度就在于值域过大，树状数组内存根本开不下

把$n$个位置离散化，查询就直接找离散化数组中最大的不超过该值的

用upper_bound查就可以了

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define maxn 100005
#define mod 9901
int n, d, m;
int t1[maxn], t2[maxn], x[maxn], pos[maxn];int lowbit( int i ) { return i & -i; }void add( int i, int val ) {for( ;i <= m;i += lowbit( i ) )t1[i] ++, t2[i] += val;
}pair < int, int > query( int i ) {int ans1 = 0, ans2 = 0;for( ;i > 0;i -= lowbit( i ) ) ans1 += t1[i], ans2 += t2[i];return make_pair( ans1, ans2 );
}int find( int p ) {return upper_bound( pos + 1, pos + m + 1, p ) - pos - 1;
}int main() {while( ~ scanf( "%d %d", &n, &d ) ) {for( int i = 1;i <= n;i ++ )scanf( "%d", &x[i] ), pos[i] = x[i], t1[i] = t2[i] = 0;sort( pos + 1, pos + n + 1 );m = unique( pos + 1, pos + n + 1 ) - pos - 1;int ans = 0;for( int i = 1;i <= n;i ++ ) {pair < int, int > r = query( find( x[i] + d ) );pair < int, int > l = query( find( x[i] - d - 1 ) );pair < int, int > t = make_pair( r.first - l.first, r.second - l.second );t.first = ( t.first + mod ) % mod;t.second = ( t.second + mod ) % mod;ans = ( ans + t.first + t.second ) % mod;x[i] = lower_bound( pos + 1, pos + m + 1, x[i] ) - pos;add( x[i], ( t.first + t.second ) % mod );}printf( "%d\n", ans );}return 0;
}

Zip-line

CF650D

预处理以$i$开始/结尾的最长上升子序列$l_i/r_i$

查询时，考虑答案有三种变化

• 往$i$前找比新值$x$小的$h_j$的最大值$r_j$，往$i$后找比$x$大的$h_j$的最大值$l_j$

  $l_j+r_j’+1$ 把三段拼起来，如果比答案大，就输出

• $i$一定在$\mathrm{L}\mathrm{I}\mathrm{S}$中，答案就$-1$

• $i$可以不在$\mathrm{L}\mathrm{I}\mathrm{S}$中，答案不变

  e.g. 1 2 2 3，2是可以不在$\mathrm{L}\mathrm{I}\mathrm{S}$中的，因为作用与另外一个等效

那现在就是求出哪些数是一定在$\mathrm{L}\mathrm{I}\mathrm{S}$中

• 求出包含$i$的最长上升子序列，如果与$\mathrm{L}\mathrm{I}\mathrm{S}$相等，那么$i$可以在LIS中
• 对于一个可以在LIS的数$i$，如果$i$前面$\ge i$的数可以在LIS中，$i$可以不在LIS中
• 对于一个可以在LIS的数$i$，如果$i$后面$\le i$的数可以在LIS中，$i$可以不在LIS中

对于$x$，求$a_i<x$的最大值$b_i$，离散化树状数组解决

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define maxn 800005
struct node { int pos, val, id, l, r; }q[maxn];
int n, m, N, ans;
int t[maxn], x[maxn], h[maxn], St[maxn], Ed[maxn], ret[maxn], cnt[maxn];int lowbit( int i ) { return i & -i; }void add( int i, int val ) {for( ;i <= N;i += lowbit( i ) ) t[i] = max( t[i], val );
}int query( int i ) {int ans = 0;for( ;i;i -= lowbit( i ) ) ans = max( ans, t[i] );return ans;
}int main() {scanf( "%d %d", &n, &m );for( int i = 1;i <= n;i ++ )scanf( "%d", &h[i] ), x[++ N] = h[i];for( int i = 1;i <= m;i ++ ) {scanf( "%d %d", &q[i].pos, &q[i].val );q[i].id = i, x[++ N] = q[i].val;}sort( x + 1, x + N + 1 );N = unique( x + 1, x + N + 1 ) - x - 1;for( int i = 1;i <= n;i ++ )h[i] = lower_bound( x + 1, x + N + 1, h[i] ) - x;for( int i = 1;i <= m;i ++ )q[i].val = lower_bound( x + 1, x + N + 1, q[i].val ) - x;for( int i = 1;i <= n;i ++ )Ed[i] = query( h[i] - 1 ) + 1, add( h[i], Ed[i] );memset( t, 0, sizeof( t ) );for( int i = n;i;i -- )St[i] = query( N - h[i] ) + 1, add( N - h[i] + 1, St[i] );memset( t, 0, sizeof( t ) );for( int i = 1;i <= n;i ++ )ans = max( ans, St[i] + Ed[i] - 1 );for( int i = 1;i <= n;i ++ )if( Ed[i] + St[i] - 1 == ans )++ cnt[Ed[i]];sort( q + 1, q + m + 1, []( node x, node y ) { return x.pos < y.pos; } );int j = 1;for( int i = 1;i <= m;i ++ ) {for( ;j < q[i].pos;j ++ ) add( h[j], Ed[j] );q[i].l = query( q[i].val - 1 );}memset( t, 0, sizeof( t ) );j = n;for( int i = m;i;i -- ) {for( ;j > q[i].pos;j -- ) add( N - h[j] + 1, St[j] );q[i].r = query( N - q[i].val );}for( int i = 1;i <= m;i ++ )if( q[i].l + q[i].r + 1 > ans )ret[q[i].id] = q[i].l + q[i].r + 1;for( int i = 1;i <= m;i ++ )if( ! ret[q[i].id] ) {if( Ed[q[i].pos] + St[q[i].pos] - 1 == ans and cnt[Ed[q[i].pos]] == 1 and q[i].l + q[i].r + 1 < ans )ret[q[i].id] = ans - 1;else ret[q[i].id] = ans;}for( int i = 1;i <= m;i ++ )printf( "%d\n", ret[i] );return 0;
}