description

在左下角是 (𝟎, 𝟎)，右上角是 (W, H)的网格上，有 (W + 1) × (H + 1) 个格点。
现在要在格点上找 N个不同的点，使得这些点在一条直线上。并且在这条直线上，
相邻点之间的距离不小于𝐃。求方案数模 10⁹ + 7

【输入格式】
第一行一个整数 𝐓，表示数据组数。
接下来 𝐓 行，每行四个整数 N, W, H, D，意义如题目描述。

【输出格式】
𝐓 行，每行一个整数表示答案。

【样例 1 输入】

7
2 2 3 3
1 4 5 3
1 251 497 2
5 40 28 10
2 2 2 2
18 60 58 2
19 2 58 4

【样例 1 输出】

【数据范围】

对于 100% 的数据， 1 ≤ N ≤ 50， 1 ≤ W, H, D ≤ 500， 1 ≤ T ≤ 20

solution

在一个以 $(0, 0)$ 开始的二维网格中，一条线段 $(0, 0) - (x, y)$ 含有整数点的个数为 $gcd⁡(x,y)−1\gcd(x,y)-1$ （不包含线段的两个整数端点）

有 $n$ 个盒子，从中选 $m$ 个，且相邻两个盒子之间至少有 $k$ 个盒子的组合方案为 $(n−k(m−1)m)\binom{n-k(m-1)}{m}$

证明： $m$ 个盒子会造成 $m - 1$ 个长度至少为 $k$ 的盒子空隙，减去这 $(m - 1) k$ 个盒子，剩下的就相当于是随便选位置了

首先，暴力的想法，枚举两个端点，横坐标之差的绝对值为 $x$ ，纵坐标之差的绝对值为 $y$ ，那么这里面包含的整数点个数为 $g−1,g=gcd⁡(x,y)g-1,g=\gcd(x,y)$

强制两个端点必须选，那么剩下还要选 $n - 2$ 个

求出相邻两个盒子之间编号差至少为 $k$ （利用两点间距离公式和题目要求的 $d$ ），即两个盒子之间的盒子个数至少为 $k - 1$

两个端点选了会导致两个 $k - 1$ 的长度区间盒子不能选

剩下的盒子数只有 $g - 1 - 2 (k - 1)$

套用上面的组合数公式，即 $(g−1−2(k−1)−(n−3)(k−1)n−2)\binom{g-1-2(k-1)-(n-3)(k-1)}{n-2}$

不难发现，最后只与横纵坐标差有关，所以直接枚举横纵坐标差，乘以情况数 $(w - x + 1) (h - y + 1)$ 即可

但是这个差是绝对值差，所以如果不是水平或竖直线，就有两种情况（可以理解为 $y$ 有正负，一条指向左方的线对称有指向右方的线；也可以理解为 $x$ 有正负，一条指向下方的线对称有一条指向上方的线）

code

#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;
#define maxn 505
#define int long long
#define mod 1000000007
int T, n, w, h, d;
int c[maxn][maxn];void init() {for( int i = 0;i < maxn;i ++ ) {c[i][0] = c[i][i] = 1;for( int j = 1;j < i;j ++ )c[i][j] = ( c[i - 1][j] + c[i - 1][j - 1] ) % mod;}
}int gcd( int x, int y ) {if( ! y ) return x;else return gcd( y, x % y );
}double calc( int x, int y ) {return sqrt( x * x * 1.0 + y * y );
}int solve( int x, int y ) {if( ! x and ! y ) return 0;int g = gcd( x, y );int k = ( int )ceil( d / calc( x / g, y / g ) );if( k * ( n - 1 ) > g ) return 0;int ans = c[g - 1 - 2 * ( k - 1 ) - ( k - 1 ) * ( n - 3 )][n - 2];if( x and y ) ans = ( ans << 1 ) % mod;return ans * ( w - x + 1 ) % mod * ( h - y + 1 ) % mod; 
}signed main() {init();scanf( "%lld", &T );while( T -- ) {scanf( "%lld %lld %lld %lld", &n, &w, &h, &d );if( n == 1 ) {printf( "%lld\n", ( w + 1 ) * ( h + 1 ) );continue;}int ans = 0;for( int i = 0;i <= w;i ++ )for( int j = 0;j <= h;j ++ )ans = ( ans + solve( i, j ) ) % mod;printf( "%lld\n", ans );}return 0;
}