摊还分析

1何为摊还分析？

摊还分析主要求解数据结构维护序列执行的所有操作的平均时间，来评价操作的代价，从而保证最坏情况下每个操作的平均性能。

2聚合分析

2.1何为聚合分析？

若长度为n的操作序列最坏情况下所花费时间为T(n)。

聚合分析状态下，摊还代价C=T(n)/n。

2.2栈的时间复杂度分析

此时栈有3个操作：

1.PUSH（S,x）表示将对象x压入栈中。

2.POP（S,x）表示从栈顶弹出一个元素（保证不会弹空）。

3.MULTIPOP（S,k）表示弹出栈顶的k个元素（保证不会弹空）。

试证明单次操作的摊还代价。

一次POP的最坏时间是O（n）的，那么n个操作的时间是否是O(n^2)的呢？

 

其实不然。

证明：事实上，每一个元素只入栈一次，出栈一次，而栈中最多存在n个元素，所以n次操作最坏只需要O(n)的时间。而每个操作的摊还代价C=O(n)/n=O(1)。

2.3单调队列的时间复杂度分析

单调队列也有两个操作：

1.PUSH（que,x）表示在队尾插入。

2.POP（que,k）表示在队首弹出k个元素（保证不会弹空）。

试证明单次操作的摊还代价。

证明：每个元素依然只入队一次，出队一次，最多n个元素，最坏为O（n），每个操作的摊还代价C=O(n)/n=O(1)

3.核算法

3.1何为核算法？

我们进行摊还分析时，对每一个不同的操作赋予不同的费用，将赋予一个操作的费用称为它的摊还代价。

每一次摊还代价超出实际代价时，就可以将多出的部分“储存”起来，称之为“信用”，它在以后的操作中可以“抵账”。

 

但核算法应确保总摊还代价大于总真实代价的上界。如果用ci表示第i个操作的真实代价，ĉi表示第i个操作的摊还代价，要求

也就是

在保证信用非负的情况下，总摊还代价是总真实代价的上界。

 

3.2栈的核算法分析

还是刚才栈的例子。

它的每个操作的实际代价为：

PUSH            1

POP              1

MULTIPOP    k

我们赋予每个操作这样的摊还代价：

 

PUSH            2

POP              0

MULTIPOP    0

可证明对于任意的操作序列，总摊还代价大于总实际代价。

就相当于每一次PUSH存入2元，1元当做PUSH的代价，还有1元当做将来弹出这个元素的代价。这样可以保证信用永远非负，之前PUSH多付出的摊还代价预支了以后POP需要的代价。所以在POP是可以当作没有任何代价了。总摊还代价还是O(n)的。

3势能法

3.1何为势能法？

势能法没有将预支代价表示为特定操作的信用，而是表示为“势能”，用势能的释放预支代价。势能与整个数据结构对象相关联，而非像核算法一样和某个特定的操作代价相关联。

我们将一个初始数据结构D0执行n个操作。对于每一个操作i，令ci为第i个操作的实际代价，令Di为数据结构Di-1上执行第i个操作所得到的结果数据结构。势函数φ把每个数据结构表示为一个势能大小。

 

摊还代价：ĉi=ci+φ（Di）-φ（Di-1）

每个操作的摊还代价为实际代价+势能变化。

总摊还代价：

      （3.1.1）

需要定义φ使得φ(Dn)>=φ(D0)，那么总摊还代价会是总实际代价的上界，因此我们要求φ(Di)>=φ(D0)，一般把φ(D0)定义为0，只需要保证φ(Di)>=0即可。

3.2栈的势能法分析

栈的操作同上。

我们设φ(Di)表示i次操作后栈中的元素数量s。

D0初始为空栈。φ(D0)初始为0.

1.对于PUSH（S,x），φ(Di)-φ(Di-1)=(s+1)-s=1。由公式（3.1.1）可得，ĉi=ci+φ(Di)-φ(Di-1)=1+1=2

2.对于MULTIPOP（S,k），φ(Di)-φ(Di-1)=(s-k)-s=-k。由公式（3.1.1）可得ĉi=ci+φ(Di)-φ(Di-1)=k-k=0

同理，POP的摊还代价也为0.

综上所述，每个操作的摊还代价均为O（1），因此总摊还代价为O（n），此时必有φ(Di)>=φ(D0)。

4.动态表扩张

你需要完成对一个序列的插入，快速查询操作。

简单来说就是实现C++中的vector，为其寻找一个空间为O（n）的方法。

对于这个问题，我们的方法是：每次空间存满，扩展两倍空间，并复制原来空间的内容进入新的空间。

（1）.若使用聚合分析

ci=

1.当i-1=2^k，ci=i

2.当i-1!=2^k，ci=1

总代价为：

（2）.若通过核算法。

令每一次操作的ĉi=3。总摊还时间为3n。

（3）.若通过势能法。

定义φ(Di)=2*T.num-T.size。

1.非扩张

ĉi=ci+φ(Di)-φ(Di-1)

   =1+（2*numi-sizei）-（2*numi-1-sizei-1）

   =1+（2*numi-sizei）-（2(numi-1)-sizei）

   =3

2.扩张

 

ĉi=ci+φ(Di)-φ(Di-1)

   =numi+（2*numi  -  sizei）-（2*numi-1   -   sizei-1）

   =numi+（2*numi-2*（numi    -1））-（2*（numi    -1））-（numi    -1）

    =numi+2（numi   - 1）

    =3

总摊还代价为O(n)。

5.思考

如何求堆的摊还代价？

如何求AVL的摊还代价？

如何求splay的摊还代价？

6.参考文献

算法导论