0.引言

对于树上问题，有许多特殊的求解方法，如：树链剖分。点分治算法也是其中之一，常用于解决树上路径问题。

1.0.问题的引入

给定一棵树，求这棵树的直径（树上最长链长度，n<=10^5）

解法1.两遍dfs：先任选一个起点t，通过dfs遍历整个树，找到最长路的终点v，再从v进行dfs，第二次dfs找到节点u，树的直径即为u->v的路径长度。（此非本文内容，证明不再撰述。）

解法2.暴力点分治

首先考虑枚举算法，对于一个节点u，我们可以先枚举所有经过u的链的长度s。

对于一个u的子树T，记f[T]=Max（dist（u,v）），v∈T。

显然，f[T]=max(f[A])+1（A是T的子树）。

则s=Max（f[T]）+Max（f[ T' ]）+1，T'≠T。

也就是说，s为子树中最远点v1与次远v2点的距离，且v1，v2不在同一个子树内，是即为经过u的最大链长度。

于是，我们可以求出u的每个子树的最远点距离，将最大和次大距离相加即是s。

此时，发现答案中与u有关的部分都求解完毕，只需要分治求解u的子树的s，最后合并答案即可。

这暴力枚举算法的时间复杂度是多少呢？

显然，这个算法的时间复杂度为O（sigma（size））的，也就是所有节点的子树大小之和。

发现这个算法在  数据退化为一条链的情况下，时间复杂度为O（n^2）。

 

如何优化？？？

我们需要尽量保持树的平衡，那么我们当然选择将子树的“重心”作为子树的根。

(重心：找到一个点,其所有的子树中最大的子树节点数最少,那么这个点就是这棵树的重心)

我们发现选取重心之后，分治树节点u的每个子树大小一定小于u树的大小的一半。

于是时间复杂度为O(n log n)，且有时根本达不到n log n的时间。

 

（

一般有两种合并方式：

1.子树依次合并，统计答案。

2.求出所有链的答案，再减去不包含这个节点的答案。

）

完美！！

1.1.点分治的实现

void get_center(int u,int father,int Size)    //Size表示整棵树的大小 
{tree[u]={1,0};                            //u节点初始化 for (int i=head[u];i;i=e[i].next){int v=e[i].to;if (size[v]||v==father) continue;get_center(v,u,Size);                 //dfstree[u].size+=tree[v].size;           //更新u子树大小 tree[u].heavy_son=get_max(tree[u].heavy_son,tree[v].size);    //更新u的子树的最大值 }tree[u].heavy_son=get_max(tree[u].heavy_son,Size-tree[u].size);   if (tree[u].heavy_son<MIN) {root=u,MIN=tree[u].heavy_son};
} 
void divide(int u)
{ans+=solve(u,0),visit[u]=1;               //求所有链的答案 for (int i=head[u];i;i=e[i].next)  {int v=e[i].to;if (visit[v]) continue;ans-=solve(v,e[i].d);                 //减去不经过u的答案 Smer=size[v];root=0;MIN=INF; get_center(v,0); divide(v);}
}