二叉排序树或二叉搜索树

一、二叉树基础

1.1 二叉排序树定义

二叉排序树（Binary Sort Tree）又称二叉查找(搜索)树（Binary Search Tree）。它是一颗空树，或者具有下列性质：

若它的左子树不为空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
若它的右子树不为空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；
它的左、右子树分别为二叉排序树。

上述性质简称二叉排序树性质(BST性质)，故二叉排序树实际上是满足BST性质的二叉树。

注意：

当用线性表作为表的组织形式时，可以有三种查找法。其中以二分查找效率最高。但由于二分查找要求表中结点按关键字有序，且不能用链表作存储结构，因此，当表的插入或删除操作频繁时，为维护表的有序性，势必要移动表中很多结点。这种由移动结点引起的额外时间开销，就会抵消二分查找的优点。也就是说，二分查找只适用于静态查找表。若要对动态查找表进行高效率的查找，可采用下二叉树或树作为表的组织形式。不妨将它们统称为树表。

1.2 特点

由BST性质可得：

（1）二叉排序树中任一结点x，其左(右)子树中任一结点y(若存在)的关键字必小(大)于x的关键字。

（2）二叉排序树中，各结点关键字是惟一的。

注意：

实际应用中，不能保证被查找的数据集中各元素的关键字互不相同，所以可将二叉排序树定义中BST性质(1)里的"小于"改为"大于等于"，或将BST性质(2)里的"大于"改为"小于等于"，甚至可同时修改这两个性质。
（3）按中序遍历该树所得到的中序序列是一个递增有序序列。

【例】下图所示的两棵树均是二叉排序树，它们的中序序列均为有序序列：2，3，4，5，7，8。
在这里插入图片描述

2、二叉树操作

二叉树TreeNode节点定义：

class TreeNode{public int data;public TreeNode left;public TreeNode right;TreeNode(int data){this.data=data;}
}

2.1 二叉树的插入

2.1.1 递归实现

//添加节点（递归模式）
public static boolean AddTreeNode1(TreeNode root, int data){TreeNode treeNode=new TreeNode(data);//树为空if(root==null){root=treeNode;return true;}//比根节点小，插入到左子树if(root.data>data){if(root.left==null){root.left=treeNode;return true;}elsereturn AddTreeNode1(root.left, data);}else if(root.data<data){       //比根节点大，插入到右子树if(root.right==null){root.right=treeNode;return true;}elsereturn AddTreeNode1(root.right,data);}elsereturn false;
}

2.1.2 非递归模式

//增加节点非递归模式
public static boolean AddTreeNode2(TreeNode root, int data){//树为空if(root==null){root=new TreeNode(data);return true;}TreeNode treeNode=new TreeNode(data);TreeNode currNode=root;while(true){if(currNode.data>data){if(currNode.left!=null)currNode=currNode.left;else{currNode.left=treeNode;return true;}}else if(currNode.data<treeNode.data){if(currNode.right!=null)currNode=currNode.right;else {currNode.right=treeNode;return true;}}elsereturn false;}
}

2.2 二叉树的查找

public static boolean search(TreeNode root, int data){if(root==null){return false;}else if(root.data==data){return true;}else if(root.data>data){return search(root.left,data);}else{return search(root.right,data);}
}

2.3 二叉树的删除

删除可为BST问题最为复杂的一部分，需要考虑一下要删除的节点的四种情况：

该节点为叶子节点，删除即可
该节点只有左子树，没有右子树，删除后将该节点的左子树连接到该节点的父节点即可
该节点只有右子树，没有左子树，删除后将该节点的右子树连接到该节点的父节点即可
该节点既有左子树，也有右子树，这时候删除比较复杂，可以分为两种情况：
首先，我们知道二叉排序树经过中序遍历后得到的是一个递增有序序列，该节点的前一个即为直接前驱，后一个为直接后继。我们要得到直接前驱和直接后继的节点。

方法一：

得到该删除节点的左节点，如果此左节点没有右节点，则该左节点即为直接前驱；
左节点有右节点，则一直沿最右侧右节点迭代下去，最后面的那个即为直接前驱；

方法二：

得到该删除节点的右节点，如果此右节点没有左节点，则该右节点即为直接后继；
右节点有左节点，则一直沿最左侧左节点迭代下去，最后面的那个即为直接后继。

以上四种情况均要考虑要删除的节点为根节点root的情况。

代码实现如下：

    //删除public static boolean delete(TreeNode root, int data){//current为查找得到的节点TreeNode current=root;//parent为时刻更新父节点TreeNode parent=root;//tempParent为同时存在左右子树的迭代临时父节点TreeNode tempParent=root;//isLeft记录current节点的左右属性boolean isLeft=true;while(current.data!=data){parent=current;//到左子树查找if(current.data>data){isLeft=true;current=current.left;}else if(current.data<data){ //到右子树查找isLeft=false;current=current.right;}//查不到，返回falseif(current==null)return false;}//第一种情况：删除节点为叶节点if(current.left==null && current.right==null){if(current==root)root=null;if(isLeft) {parent.left = null;}else{parent.right = null;}return true;}else if(current.right==null){    //第二种情况：删除节点只有左节点if(current==root)root=current.left;else if(isLeft)parent.left=current.left;elseparent.right=current.left;return true;}else if(current.left==null){    //第三种情况：删除节点只有右节点if(current==root)root=current.right;else if(isLeft)parent.left=current.right;elseparent.right=current.right;return true;}else{  //第四种情况：删除节点均存在左节点和右节点if(current==root){root=root.left;}TreeNode tempNode=current.left;//没有左节点if(tempNode.right==null){if(isLeft)parent.left=tempNode;elseparent.right=tempNode;}else{  //存在左节点，迭代到最右侧子节点，即直接前驱while(tempNode.right!=null){tempParent=tempNode;tempNode=tempNode.right;}if(isLeft){    //为左节点，连接parent.left=tempNode;parent.left.left=current.left;}else{  //为右节点，连接parent.right=tempNode;parent.right.left=current.left;}//删除前驱节点，连接if(tempNode.left==null)tempParent.right=null;elsetempParent.right=tempNode.left;}return true;}}

2.4 二叉树的遍历

//二叉树中序遍历
public static void midSort(TreeNode root){if(root==null){return;}midSort(root.left);System.out.print(root.data+" ");midSort(root.right);
}

2.5 测试代码

public static void main(String[] args){int[] a=new int[]{62,88,58,47,35,73,51,99,37,93};TreeNode root=new TreeNode(a[0]);for(int i=1; i<a.length; i++){AddTreeNode1(root, a[i]);}System.out.println("中序遍历结果为：");midSort(root);System.out.println("47存在："+SearchTreeNode(root,47));AddTreeNode1(root,100);System.out.println("添加100后，中序遍历结果为：");midSort(root);System.out.println("添加100后，100存在："+SearchTreeNode(root,100));
}

输出结果：

中序遍历结果为：
35 37 47 51 58 62 73 88 93 99 47存在：true
添加100后，中序遍历结果为：
35 37 47 51 58 62 73 88 93 99 100 添加100后，100存在：true
删除100后，中序遍历结果为：
35 37 47 51 58 62 73 88 93 99 删除100后，100存在：false