堆树（最大堆、最小堆）详解

一、堆树的定义

堆树的定义如下：

（1）堆树是一颗完全二叉树；

（2）堆树中某个节点的值总是不大于或不小于其孩子节点的值；

（3）堆树中每个节点的子树都是堆树。

当父节点的键值总是大于或等于任何一个子节点的键值时为最大堆。当父节点的键值总是小于或等于任何一个子节点的键值时为最小堆。如下图所示，左边为最大堆，右边为最小堆。

二、堆树的操作

以最大堆为例进行讲解，最小堆同理。

原始数据为a[] = {4, 1, 3, 2, 16, 9, 10, 14, 8, 7}，采用顺序存储方式，对应的完全二叉树如下图所示：

（1）构造最大堆

在构造堆的基本思想就是：首先将每个叶子节点视为一个堆，再将每个叶子节点与其父节点一起构造成一个包含更多节点的对。

所以，在构造堆的时候，首先需要找到最后一个节点的父节点，从这个节点开始构造最大堆；直到该节点前面所有分支节点都处理完毕，这样最大堆就构造完毕了。

假设树的节点个数为n，以1为下标开始编号，直到n结束。对于节点i，其父节点为i/2；左孩子节点为i*2，右孩子节点为i*2+1。最后一个节点的下标为n，其父节点的下标为n/2。

如下图所示，最后一个节点为7，其父节点为16，从16这个节点开始构造最大堆；构造完毕之后，转移到下一个父节点2，直到所有父节点都构造完毕。

C++代码实现：

定义存放堆的结构如下：

strcut MaxHeap
{Etype *heap;int HeapSize;int MaxSize;
};
MaxHeap H;

其中，heap是数据元素存放的空间，下标从1开始存数数据，下标为0的作为工作空间，存储临时数据。HeapSize是数据元素的个数，MaxSize是存放数据元素空间的大小。

初始化堆方法如下：

void MaxHeapInit (MaxHeap &H)
{for(int i = H.HeapSize/2; i>=1; i--){H.heap[0] = H.heap[i];int son = i*2;while(son <= H.HeapSize){if(son < H.HeapSize && H.heap[son] < H.heap[son+1])son++;if(H.heap[0] >= H.heap[son])break;else{H.heap[son/2] = H.heap[son];son *= 2;}}H.heap[son/2] = H.heap[0];}
}

（2）最大堆中插入节点

最大堆的插入节点的思想就是先在堆的最后添加一个节点，然后沿着堆树上升。跟最大堆的初始化过程大致相同。

C++代码实现：

void MaxHeapInsert (MaxHeap &H, EType &x)
{if(H.HeapSize == H.MaxSize)return false;int i = ++H.HeapSize;while(i!=1 && x>H.heap[i/2]){H.heap[i] = H.heap[i/2];i = i/2;}H.heap[i] = x;return true;
}

（3）最大堆中堆顶节点的删除

最大堆堆顶节点删除思想如下：将堆树的最后的节点提到根结点，然后删除最大值，然后再把新的根节点放到合适的位置。

C++代码实现：

void MaxHeapDelete (MaxHeap &H, EType &x)
{if(H.HeapSize == 0)return false;x = H.heap[1];H.heap[0] = H.heap[H.HeapSize--];int i = 1, son = i*2; while(son <= H.HeapSize){if(son <= H.HeapSize && H.heap[0] < H.heap[son+1])son++;if(H.heap[0] >= H.heap[son])break;H.heap[i] = H.heap[son];i = son;son  = son*2;}H.heap[i] = H.heap[0];return true;
}

三、堆树的应用