数据结构与算法--数组：二维数组中查找

数组

数组最简单的是数据结构，占据一整块连续的内存并按照顺序存储数据，创建数组时候，我们需要首先指定数组的容量大小，然后根据大小分配内存。即使我们只在数组中存储一个元素，亚需要为所有数据预先分配内存，因此空间使用效率差，经常会有空闲区域没有得到充分利用。
由于数组中内存是连续的，于是可以根据下标在O(1)时间内读/写任何元素，因此时间效率很高。
为解决数组空间效率问题，人们设计实现了多种动态数组，Java中的vector。为了避免浪，我们先为数组开辟一个较小的空间，然后向数组添加元素的过程中，当元素个数超过数组容量的时候，我们会重新分配一个更大的空间，接着吧之前的数据复制到新的驻足中，在将之前的内存释放，这样就能减少内存的浪费。但是每一层扩充数组容量都有大量的额外操作，这多时间性能有负面的影响，因此使用动态数组时候要尽量减少改变数组容量大小的次数。

算法题：二维数组中查找

题目：在一个二维数组中，每一行从左到右递增顺序存储，每一列都按照从上到下递增顺序排序。完成一个函数，输入这样一个二维数组和一个整数，输出数组中是否包含改整数以及改整数的位置。
分析过程如下：例如下面二维数组，每行，列都递增。如果这个数组中查找数字6，则返回true，位置（2,1）。如果查找数字5返回false

1 2 3 4 5
2 4 6 8 10
3 6 9 12 15
4 8 12 16 20

错误解法分析过程如下

按照题目要求，每列，行都递增，如上，通过观察以上矩阵的特性，很多同学会采用二分法，步骤如下：
- 将二维数组看成是一个现象的结构，总共有20个元素，left=0，right=20， mid= (left+right)/2=10
- 取中间位置元素值value与目标元素key比较
- value == key 则得出结果
- value < key则left = mid + 1
- value > key 则right = mid - 1
- 具体实现如下

/*** 错误案例* @author liaojiamin* @Date:Created in 13:59 2020/10/30*/
public class FindOne {public static Integer[][] getTwoDimenArray(int rows, int cloumns){Integer[][] twoDimen = new Integer[rows][cloumns];for (int i = 0; i < rows; i++) {for (int j = 0; j < cloumns; j++) {Integer key = (i+1) * (j+1);twoDimen[i][j] = key;System.out.print(key + "  ");}System.out.println("");}return twoDimen;}public static void findOneInTwoDimenArray1(int rows, int cloumns, Integer key){if(rows <=0 || cloumns <=0){return;}Integer[][] twoDimen = getTwoDimenArray(rows, cloumns);if(twoDimen == null){return;}boolean isInArray = false;int keyCloumns = -1;int keyRows = -1;int left = 0;int right = rows * cloumns -1;int col = cloumns;while (left <= right){int mid = (left + right) / 2;Integer value = twoDimen[mid/ col][mid%col];//中间位置if(value == key){keyRows = mid/col;keyCloumns = mid%col;isInArray = true;break;}else if(value < key){left = mid + 1;}else {right = mid - 1;}}System.out.println("isInArray: "+ isInArray + "  position: rows:" +keyRows + " cloums:" + keyCloumns);}public static void main(String[] args) {findOneInTwoDimenArray1(4, 5, 8);}
}

以下测试案例：

//测试一：正确
inPut:4,5,8
outPut:
1  2  3  4  5  
2  4  6  8  10  
3  6  9  12  15  
4  8  12  16  20  
isInArray: true  position: rows:1 cloums:3
//测试二：错误
input:5,4,8
1  2  3  4  
2  4  6  8  
3  6  9  12  
4  8  12  16  
5  10  15  20  
isInArray: false  position: rows:-1 cloums:-1

如上测试用例可知，以上解法是错误的，原因在于虽然此二维数组每一列每一行都递增，当并不代表中间元素mid之前的元素一定小于mid导致程序出错。

正确解法分析过程如下

还是将二维数组看成矩阵，，从中选一个元素 m与目标值key比较，分三种情况分析查找，
- 情况一当 m == key，结束查找
- 情况二当 m < key，根据数组排序规则，要查找的数字应该在当前选区的位置的右边或者下面
- 情况三当m > key，同样的，要查的数字应该在左边或者上面
如上分析，由于需要朝招的数字相对当前选取的m的位置有可能两个区域，而且有重叠，这样看起来就复杂了。
我们将问题具体化，。下面以上图中矩阵中查找数字7 为案例，一步步分析查找过程。
之前之所以困难，是我们在二维数组的中间选取的数字m 与目标值key比较，这样导致下一次需要查找的两个相互重叠的区域。如果我们从数组的一个角上选取，情况如下：
- 首先选右上角数字9， 9 > 7，并且9 还在第四列的第一个数字，所有，7 不可能在第四列
- 将剩下三列看成一个新的二维数组，同样选右上角 8 > 7 ，同样可以排除第三列数
- 将剩下两列看成一个新二维数组，同样选右上角2 < 7，那么要查找的7 可能在2的右边也可能在2 的下面，因为之前的操作已经将右边的所有数据都排除了，所有必定在2 的下面，并且将2 这一行踢出，只剩下3*2 的二维数组，如下
- 剩下上图中，同样用这个方法，去右上角4 < 7 ，所以不再这一行，可能在4下面，剩下2*2 的二维数组
接着在取右上角 7 = 7 得出最终答案。

总结

以上查找过程，有如下规律：首先选取数组中右上角元素，
- 如果改数字等于要查找数字，结束查找
- 如果改数字小于要查找数字，踢出这个数字所在行
- 如果这个数字大于要查找的数字，踢出这个数字所在的列
- 依次每一步都在查找范围内踢出一列或者一行，逐步缩小范围。直到查询到或者为空。
- 如下代码实现。
- 时间复杂度 O(max(rows, cloumns))，空间复杂度 O(1)

/*** * @author liaojiamin* @Date:Created in 13:59 2020/10/30*/
public class FindOne {public static Integer[][] getTwoDimenArray(int rows, int cloumns){Integer[][] twoDimen = new Integer[rows][cloumns];for (int i = 0; i < rows; i++) {for (int j = 0; j < cloumns; j++) {Integer key = (i+1) * (j+1);twoDimen[i][j] = key;System.out.print(key + "  ");}System.out.println("");}return twoDimen;}public static void findOneInTwoDimenArray2(int rows, int cloumns, Integer key){if(rows <=0 || cloumns <=0 || key == null){return;}Integer[][] twoDimen = getTwoDimenArray(rows, cloumns);if(twoDimen == null){return;}boolean isInArray = false;int keyCloumns = cloumns -1;int keyRows =0;while (keyCloumns >= 0 && keyRows < rows){if(twoDimen[keyRows][keyCloumns] == key){System.out.println("isInArray: "+ isInArray + "  position: rows:" +keyRows + " cloums:" + keyCloumns);break;}else if(twoDimen[keyRows][keyCloumns] > key){keyCloumns --;}else {keyRows ++;}}}public static void main(String[] args) {findOneInTwoDimenArray2(5, 4, 8);}
}