数据结构与算法--面试必问AVL树原理及实现

数据结构与算法–AVL树原理及实现

  • AVL（Adelson-Velskii 和landis）树是带有平衡条件的二叉查找树，这个平衡条件必须容易实现，并且保证树的深度必须是O(logN)。因此我们让一棵AVL树中每个节点的左子树和右子树的高度最多相差1（空树高度定义-1）如下图，左边是AVL树，右边不是AVL树。
  • 在这里插入图片描述
  • 左图中3 节点左子树高度0，右子树高度1，相差不超过1。
  • 右图中节点3，左子树盖度0，右子树高度2，相差超过1，不满足AVL数要求。
  • 我们可以在每一个节点中保留高度信息，那我们可以推算出如下 高度h 与节点之间关系的公式
    • 在高度h的AVL树中，最少节点数S(h)由S(h)=S(h-1)+S(h-2)+1标识
    • 对于h，S(h)=1; h=1, S(h)=2，明显函数S(h)与斐波那契数列密切相关，由此我们可以推算出AVL数的高度的界限1.44log(N+2)-1.328。
insert分析

  • 经过如上高度，限制条件分析，我们可以认为，AVL树操作都可以以时间O(logN)执行。当插入操作时候，我们需要更通向根节点路径上那些节点的所有平衡信息，而插入操作比较棘手的地方子阿姨，一个插入节点可能破坏AVL的平衡性。

    • 上图中左图插入数据5，变成右图，平衡性改变，不符合AVL树特性

  • 因此我们需要考虑在insert之后恢复平衡性，这种操作总可以通过树进行简单的修正做到，我们成为旋转。

  • 我们将insert后必须重新平衡的节点记录为a。由于任意节点最多两个儿子，因此出现高度不平衡需要a的左右子树的高度相差2，容易推出如下四种情况：

    • 对a的左子树的左子树进行一次insert
    • 对a的左子树的右子树进行一次insert
    • 对a的右子树的左子树进行一次insert
    • 对a的右子树的右子树进行一次insert

  • 上面四点中 第一点与第四点镜像对称，第二点和第三点镜像对称，理论上我们只需要实现两种就可以同样的实现方法得出对称的方法。

  • 第一种情况发生在外侧情况（左左或者右右），该情况通过一次单旋转可以完成跳转。

  • 第二中情况发生在内部(左右或者右左)，这种情况需要复杂一些的双旋转。

单旋转

在这里插入图片描述

  • 如上图左图中的树节点4不满足AVL树，因为他的左子树的深度比右子树深2层，改图中描述的情况是第一点1中描述的情况。在插入2 节点之后，原来满足AVL数的性质遭到了破坏，子树 3多出了一层我们需要调整节点然他在平衡。
  • 我们将3节点上移，并且将4节点下移，得到右图中所示的新的树满足AVL特性
  • 我们可以形象的将树看成是柔软的，抓住3 节点向上提在重力的作用下3节点变成了新的根节点（子树的根）。由于二叉查找树的特性，4>3，
    • 所以4节点变成了3节点的右节点。
    • 如果3 有右节点x，那么3的右节点应该变成4的左节点，因为x>3 并且x<4
    • 2的左右节点不变，4的右节点不变
      -我们在来插入一个数据1 ，得出如下结果：

在这里插入图片描述

  • 如上左图我们插入1 后，破坏了5 根节点的平衡性，5节点的左子树深度3， 右子树深度1，超过2，因此我们应该在3 节点处进行如上步骤的操作得到最终的AVL数右图：
    • 3节点编程根节点，5节点编程3的右节点
    • 3的右节点交给5的左节点
    • 其他节点不变
双旋转

  • 上面案例中的算法小时，在下图找那个是无效的：
    在这里插入图片描述

  • 如上左图到右图的变化，9节点在插入 7 节点后，时序平衡性，我们在5与9节点之间作旋转，按上面描述的算法，得到右图，还是非AVL数

  • 我们通过如上的实验得出5 和9 之间的旋转无法解决问题。也就是5， 9 作为根都无法得到一个平衡树，那么只能由6 节点作为跟节点

  • 如此的话，节点的顺序就一目了然了： 5节点是6左子树，9 是右子树，7 变为9 的左子树。得到如下结果：

在这里插入图片描述

  • 我们继续接着上面的案例插入 15， 14，13。插入13容易，因为他不会破坏节点的平衡性，但是插入12 之后硬气10 节点的高度不平衡，这个属于上面描述的情况3 的案例：需要通过一次右-左双旋来解决这个问题。在这里插入图片描述
  • 如上左图中，右-左旋流程：
    • 我们先在15 节点和14节点之间做一次右旋转，我们在做这次右旋转流程时候，假设14节点左节点还有一个节点是我们假设的虚拟节点
    • 那么此时15 节点就满足上述情况中的第一点左 左描述情况，那么我们用右旋得到如下图情况：
      在这里插入图片描述
  • 如上图我们完成了第一次右边选择，图中虚线表示虚拟节点不存在
  • 那么我们再看此时10 节点也是不符合平衡性质，而且恰好此时满足第四点情况描述的右右的描述
  • 那么我们按照之前的算法描述需要对10，14 节点之间进行左旋得到如下结果

在这里插入图片描述

总结
  • 至此我们对上面两种旋转做一个总结，为了将项X的一个新节点插入到一个AVL树中，
    • 我们递归的将X插入到T数对应的子树位置，记录改子树为T_lr
    • 如果T_lr的高度不变那么插入完成
    • 如果T中出现高度不平衡，则根据X以及T和T_lr中项做适当的单旋或者双旋来更新这些高度
    • 解决旋转之后其他节点的归属问题
  • 经过如上分析，我们给出以下实现（二叉查找树上一节已经实现，在此基础上进行修改）：
算法实现
  • 节点定义，还是和上一节二叉查找树中类似，只不过我们在节点中需要维护一个高度信息，并且修改了comparable方法。如下实现：
/*** 二叉树节点对象定义** @author liaojiamin* @Date:Created in 15:24 2020/12/11*/
public class BinaryNode implements Comparable {private Object element;private BinaryNode left;private BinaryNode right;/*** 树高度*/private int height;private int count;public BinaryNode(Object element, BinaryNode left, BinaryNode right) {this.element = element;this.left = left;this.right = right;this.count = 1;this.height = 0;}public int getHeight() {return height;}public void setHeight(int height) {this.height = height;}public Object getElement() {return element;}public void setElement(Object element) {this.element = element;}public BinaryNode getLeft() {return left;}public void setLeft(BinaryNode left) {this.left = left;}public BinaryNode getRight() {return right;}public void setRight(BinaryNode right) {this.right = right;}public int getCount() {return count;}public void setCount(int count) {this.count = count;}@Overridepublic int compareTo(Object o) {if (o == null) {return 1;}int flag;if (o instanceof Integer) {int myElement = (int) this.element - (int) o;flag = myElement > 0 ? 1 : myElement == 0 ? 0 : -1;} else {flag = this.element.toString().compareTo(o.toString());}if (flag == 0) {return 0;} else if (flag > 0) {return 1;} else {return -1;}}
}
  • 单左旋，单右旋代码实现：
/*** 左单旋一次* */private BinaryNode rotateWithLeftChild(BinaryNode k2){BinaryNode k1 = k2.getLeft();k2.setLeft(k1.getRight());k1.setRight(k2);k2.setHeight(Math.max(height(k2.getLeft()), height(k2.getRight())) + 1);k1.setHeight(Math.max(height(k1.getLeft()), height(k2)) + 1);return k1;}/*** 右单旋一次* */private BinaryNode rotateWithRightChild(BinaryNode k2){BinaryNode k1 = k2.getRight();k2.setRight(k1.getLeft());k1.setLeft(k2);k2.setHeight(Math.max(height(k2.getLeft()), height(k2.getRight())) + 1);k1.setHeight(Math.max(height(k2), height(k1.getRight())) + 1);return k1;}
  • 如上代码实现，用下图说明，6节点因为3 的插入破坏平衡性
    • 我们在6节点和5节点之前进行选择
    • 5节点成为新根节点
    • 6 节点成为5节点的右节点
    • 5节点的右节点编程6节点的左节点
    • 和如上左旋流程一样，达到目的

在这里插入图片描述

  • 双左旋，双右旋转实现：
  /*** 右旋转 接左旋转，双旋转* */private BinaryNode doubleWithLeftChild(BinaryNode k3){k3.setLeft(rotateWithRightChild(k3.getLeft()));return rotateWithLeftChild(k3);}/*** 左旋转 接右旋转，双旋转* */private BinaryNode doubleWithRightchild(BinaryNode k3){k3.setRight(rotateWithLeftChild(k3.getRight()));return rotateWithRightChild(k3);}

  • 双旋的情况我们将他看出是两段，两段分别进行单旋操作:

    • 第一步，如下图，有K2节点进行右旋得到右图中树结构
      在这里插入图片描述

  • 第二步，对k3进行左旋

在这里插入图片描述

  • 删除操作，添加操作：添加操作破坏平衡性，之后在纠正，由于二叉查找树的删除比插入更加复杂，英雌AVL删除也同样，我们也可以和insert方法一样，在insert之后在纠正平衡性，这样就可以在二叉查找树的基础上进行很简单的实现：
/*** 插入节点** @author: liaojiamin* @date: 15:48 2020/12/15*/private BinaryNode insert(Object x, BinaryNode t) {if (x == null) {return t;}if (t == null || t.getElement() == null) {t = new BinaryNode(x, null, null);return t;}int flag = t.compareTo(x);if (flag > 0) {t.setLeft(insert(x, t.getLeft()));} else if (flag < 0) {t.setRight(insert(x, t.getRight()));} else {t.setCount(t.getCount() + 1);}return balance(t);}/*** 删除节点** @author: liaojiamin* @date: 15:48 2020/12/15*/private BinaryNode remove(Object x, BinaryNode t) {if (x == null) {return t;}int flag = t.compareTo(x);if (flag > 0) {return remove(x, t.getLeft());} else if (flag < 0) {return remove(x, t.getRight());} else if (t.getLeft() != null && t.getRight() != null) {//找到对应节点，将节点右子树下面最小的值替换当前值BinaryNode min = findMin(t.getRight());t.setElement(min.getElement());//递归删除右子树下最小值remove(min.getElement(), t.getRight());} else {//找到对应节点，但是当前节点只有一个子节点// 递归思想：只考虑最简单情况，当只有当前节点与其左子节点，删除当前节点返回当节点左子节点，右节点同理t = t.getLeft() != null ? t.getLeft() : t.getRight();}return balance(t);}
  • 平衡性纠正方法：
 private static final int MAXBALANCE_HEIGH = 1;/*** 平衡查找二叉树** */public BinaryNode balance(BinaryNode t){if(t == null){return t;}if(height(t.getLeft()) - height(t.getRight()) > MAXBALANCE_HEIGH){if(height(t.getLeft().getLeft()) >= height(t.getLeft().getRight())){t = rotateWithLeftChild(t);}else {t = doubleWithLeftChild(t);}}else if(height(t.getRight()) - height(t.getLeft()) > MAXBALANCE_HEIGH ){if(height(t.getRight().getRight()) >= height(t.getRight().getLeft())){t = rotateWithRightChild(t);}else {t = doubleWithRightchild(t);}}t.setHeight(Math.max(height(t.getLeft()), height(t.getRight())) + 1);return t;}
  • 其他方法：
/*** 按顺序打印节点信息：左中右** @author: liaojiamin* @date: 15:48 2020/12/15*/public void printTree(BinaryNode t) {if (t == null || t.getElement() == null) {return;}printTree(t.getLeft());for (int i = 0; i < t.getCount(); i++) {System.out.print(t.getElement() + " ");}printTree(t.getRight());}/*** 获取树高度* */private int height(BinaryNode t){return t == null ? -1 : t.getHeight();}public void makeEmpty(BinaryNode root) {root = null;}public boolean isEmpty(BinaryNode root) {return root == null;}public static void main(String[] args) {BinaryNode node = new BinaryNode(null, null, null);AvlTree searchTree = new AvlTree();Random random = new Random();for (int i = 0; i < 20; i++) {node = searchTree.insert(random.nextInt(100), node);}System.out.println(searchTree.findMax(node).getElement());System.out.println(searchTree.findMin(node).getElement());searchTree.printTree(node);if(!searchTree.contains(13, node)){node = searchTree.insert(13, node);}System.out.println(searchTree.contains(13, node));node = searchTree.remove(13, node);System.out.println(searchTree.contains(13, node));}/*** 节点元素是否存在** @author: liaojiamin* @date: 15:48 2020/12/15*/private boolean contains(Object x, BinaryNode t) {if (x == null) {return false;}if (t == null) {return false;}int flag = t.compareTo(x);if (flag > 0) {return contains(x, t.getLeft());} else if (flag < 0) {return contains(x, t.getRight());} else {return true;}}/*** 查找最小元素节点** @author: liaojiamin* @date: 15:48 2020/12/15*/private BinaryNode findMin(BinaryNode t) {if (t == null) {return null;}if (t.getLeft() != null) {return findMin(t.getLeft());}return t;}/*** 查找最大元素节点** @author: liaojiamin* @date: 15:48 2020/12/15*/private BinaryNode findMax(BinaryNode t) {if (t == null) {return null;}if (t.getRight() != null) {return findMax(t.getRight());}return t;}

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