</div><!--一个博主专栏付费入口--><!--一个博主专栏付费入口结束--><link rel="stylesheet" href="https://csdnimg.cn/release/phoenix/template/css/ck_htmledit_views-4a3473df85.css"><link rel="stylesheet" href="https://csdnimg.cn/release/phoenix/template/css/ck_htmledit_views-4a3473df85.css"><div class="htmledit_views" id="content_views"><p>现在给你一个问题:给你一个数组 ,其中有N个数字,现在给你一次询问,给你区间[l ,r],问你在这个区间内的最大值为多少?</p>
哇!这题简单啊,一个for循环,遍历数组记录最大值输出即可啊。
那好,现在我告诉你假设N为50000,给你Q次询问((1 ≤ Q ≤ 200,000)),如果这种情况,我们还每次都进行暴力遍历求解的话,那么无论你提交几万次都会得到如下结果:
是的,这种暴力遍历求解虽然思维简单,代码简短,但是很慢啊。
那该怎么做呢?以前我也不会啊,自从学了RMQ,诶,真好用,我们全家都用它!
RMQ(Range Minimum/Maximum Query),即区间最值查询。RMQ算法一般用较长时间做预处理,时间复杂度为O(nlogn),然后可以在O(1)的时间内处理每次查询。
下面我们从一个实际问题来解释RMQ
我们假设数组arr为:1,2,6,8,4,3,7
我们设二维数组dp[i][j]表示从第i位开始连续 个数中的最小值。例如dp[2][1]就表示从第二位数开始连续两个数的最小值(也就是从第二位数到第三位数的最小值),即2,6中的最小值,所以dp[2][1] = 2;
其实我们求 dp[i][j] 的时候可以把它分成两部分,第一部分是从 到 ,第二部分从到 ,为什么可以这么分呢?其实我们都知道二进制数前一个数是后一个的两倍,那么可以把 到 这个区间通过分成相等的两部分, 那么转移方程很容易就写出来了。(dp[i][0]就表示第i个数字本身)
dp[i][j] = min(dp [i][j - 1], dp [i + (1 << j - 1)][j - 1])
由此给出下列代码:
- void rmq_init()
- {
- for(int i=1;i<=N;i++)
- dp[i][0]=arr[i];//初始化
- for(int j=1;(1<<j)<=N;j++)
- for(int i=1;i+(1<<j)-1<=N;i++)
- dp[i][j]=min(dp[i][j-1],dp[i+(1<<j-1)][j-1]);
- }
这里需要注意一个循环变量的顺序,我们看到外层循环变量为j,内层循环变量为i,这是为什么呢?可以互换一下位置吗?
答案当然是不可以,我们要理解这个状态转移方程的意义,这个状态方程的含义是:先更新每两个元素中的最小值,然后通过每两个元素的最小值获得每4个元素中的最小值,依次类推更新所有长度的最小值。
而如果是i在外,j在内的话,我们更新的顺序就变成了从1开始的前1个元素,前2个元素,前4个元素,前8个元素。。。
当j等于3的时候dp[1][3] = min(min(ans[0],ans[1],ans[2],ans[3]),min(ans[4],ans[5],ans[6],ans[7])))的值,
但是我们根本没有计算min(ans[0],ans[1],ans[2],ans[3])和min(ans[4],ans[5],ans[6],ans[7]),所以这样的方法肯定是错误的。
为了避免这样的错误,一定要好好理解这个状态转移方程所代表的含义。
接下来我们来讲解RMQ的查询部分,假设我们需要查询区间[l ,r]中的最小值,令k = , 则区间[l, r]的最小值RMQ[l,r] = min(dp[l][k], dp[r - (1 << k) + 1][k]);
但是为什么这样就可以保证是区间最小值了呢?
dp[l][k]维护的是区间 [l, l + 2^k - 1] , dp[r - (1 << k) + 1][k]维护的是区间 [r - 2^k + 1, r] 。
那么只要我们保证 ≤ 就能保证RMQ[l,r] = min(dp[l][k], dp[r - (1 << k) + 1][k]);
接下来我们用分析法来证明这个不等式:
我们假设 ≤ 这个等式成立
即有 r - l + 2 ≤ 也就是 r - l + 2 ≤
又因为 k = ;
那么 r - l + 2 ≤ 2 * (r - l +1)
则 r - l + 2 ≤ 2*(r - l) + 2
即 r - l ≤ 2*(r-l)
所以 r - l ≥ 0,即假设成立
我们举个例子, l = 4,r = 6;
假设数组arr为:1,2,6,8,4,3,7
此时 k = = = 1
则区间[4,6]的最小值 = min(dp[4][1],dp[5][1])
dp[4][1] = 4,dp[5][1] = 3,所以区间[4,6]的最小值 = min(dp[4][1],dp[5][1]) = 3
我们很容易看出来答案是正确的。
由此给出查询部分代码:
- int rmq(int l,int r)
- {
- int k=log2(r-l+1);
- return min(dp[l][k],dp[r-(1<<k)+1][k]);
- }
-
-
好了,至此RMQ全部介绍完毕。