凸包算法知识总结

首先，什么是凸包？
假设平面上有p0~p12共13个点，过某些点作一个多边形，使这个多边形能把所有点都“包”起来。当这个多边形是凸多边形的时候，我们就叫它“凸包”。
处理何种问题：凸包可以看成在木板上钉许多钉子，用一根橡皮筋框住所有钉子所得到的多边形，最终能求得都由哪些钉子构成该凸包。如下图所示：
在这里插入图片描述
然后，什么是凸包问题？
我们把这些点放在二维坐标系里面，那么每个点都能用 (x,y) 来表示。
现给出点的数目13，和各个点的坐标。求构成凸包的点？

解一：穷举法（蛮力法）

时间复杂度：O(n³）。
思路：两点确定一条直线，如果剩余的其它点都在这条直线的同一侧，则这两个点是凸包上的点，否则就不是。
步骤：

将点集里面的所有点两两配对，组成 n(n-1)/2 条直线。
对于每条直线，再检查剩余的 (n-2) 个点是否在直线的同一侧。
如何判断一个点 p3 是在直线 p1p2 的左边还是右边呢？（坐标：p1(x1,y1)，p2(x2,y2)，p3(x3,y3)）

这里写图片描述
当上式结果为正时，p3在直线 p1p2 的左侧；当结果为负时，p3在直线 p1p2 的右边。

解二：分治法

时间复杂度：O(n㏒n)。
思路：应用分治法思想，把一个大问题分成几个结构相同的子问题，把子问题再分成几个更小的子问题……。然后我们就能用递归的方法，分别求这些子问题的解。最后把每个子问题的解“组装”成原来大问题的解。
步骤：

1.把所有的点都放在二维坐标系里面。那么横坐标最小和最大的两个点 P1 和 Pn 一定是凸包上的点（为什么呢？用反证法很容易证明，这里不详讲）。直线 P1Pn 把点集分成了两部分，即 X 轴上面和下面两部分，分别叫做上包和下包。
2.对上包：求距离直线 P1Pn 最远的点，即下图中的点 Pmax 。
3.作直线 P1Pmax 、PnPmax，把直线 P1Pmax 左侧的点当成是上包，把直线 PnPmax 右侧的点也当成是上包。
4.重复步骤 2、3。
对下包也作类似操作。
在这里插入图片描述
然而怎么求距离某直线最远的点呢？我们还是用到解一中的公式：
这里写图片描述
设有一个点 P3 和直线 P1P2 。（坐标：p1(x1,y1)，p2(x2,y2)，p3(x3,y3)）
对上式的结果取绝对值，绝对值越大，则距离直线越远。

注意：在步骤一，如果横坐标最小的点不止一个，那么这几个点都是凸包上的点，此时上包和下包的划分就有点不同了，需要注意。
解三：Jarvis步进法
时间复杂度：O(nH)。（其中 n 是点的总个数，H 是凸包上的点的个数）
思路：

纵坐标最小的那个点一定是凸包上的点，例如图上的 P0。
从 P0 开始，按逆时针的方向，逐个找凸包上的点，每前进一步找到一个点，所以叫作步进法。
怎么找下一个点呢？利用夹角。假设现在已经找到 {P0，P1，P2} 了，要找下一个点：剩下的点分别和 P2 组成向量，设这个向量与向量P1P2的夹角为 β 。当 β 最小时就是所要求的下一个点了，此处为 P3 。
这里写图片描述

注意：

找第二个点 P1 时，因为已经找到的只有 P0 一个点，所以向量只能和水平线作夹角 α，当 α 最小时求得第二个点。
共线情况：如果直线 P2P3 上还有一个点 P4，即三个点共线，此时由向量P2P3 和向量P2P4 产生的两个 β 是相同的。我们应该把 P3、P4 都当做凸包上的点，并且把距离 P2 最远的那个点（即图中的P4）作为最后搜索到的点，继续找它的下一个连接点。

解四：Graham扫描法
时间复杂度：O(n㏒n)
思路：Graham扫描的思想和Jarris步进法类似，也是先找到凸包上的一个点，然后从那个点开始按逆时针方向逐个找凸包上的点，但它不是利用夹角。
在这里插入图片描述
步骤：

把所有点放在二维坐标系中，则纵坐标最小的点一定是凸包上的点，如图中的P0。
把所有点的坐标平移一下，使 P0 作为原点，如上图。
计算各个点相对于 P0 的幅角 α ，按从小到大的顺序对各个点排序。当 α 相同时，距离 P0 比较近的排在前面。例如上图得到的结果为 P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7，P8。我们由几何知识可以知道，结果中第一个点 P1 和最后一个点 P8 一定是凸包上的点。
（以上是准备步骤，以下开始求凸包）
以上，我们已经知道了凸包上的第一个点 P0 和第二个点 P1，我们把它们放在栈里面。现在从步骤3求得的那个结果里，把 P1 后面的那个点拿出来做当前点，即 P2 。接下来开始找第三个点：
连接栈最上面的连个元素（即P0和栈顶）的那个点，得到直线 L 。看当前点是在直线 L 的右边还是左边。如果在直线的右边就执行步骤5；如果在直线上，或者在直线的左边就执行步骤6。
如果在右边，则栈顶的那个元素不是凸包上的点，把栈顶元素出栈。执行步骤4。
当前点是凸包上的点，把它压入栈，执行步骤7。
检查当前的点 P2 是不是步骤3那个结果的最后一个元素。是最后一个元素的话就结束。如果不是的话就把 P2 后面那个点做当前点，返回步骤4。
最后，栈中的元素就是凸包上的点了。

解五：Melkman算法
在这里插入图片描述
说真的，这个算法我也还没有看清。网上的资料也少的可怜，我暂且把网上的解释截个图在这里，往后搞懂以后再回来补上。
性能：由一个快排（O（nlogn））和一个遍历找点（O（n）），总体时间复杂度为O（nlogn）。

原理：

点：A（x1，y1），B（x2，y2）

向量AB=（x2-x1，y2-y1）=（x，y）

向量的叉积：a X b =

通过结果的正负判断两矢量之间的顺逆时针关系

l 若a X b > 0，表示a在b的顺时针方向上

l 若a X b < 0，表示a在b的逆时针方向上

l 若a X b == 0，表示a与b共线，但不确定方向是否相同

例如：

在这里插入图片描述

A（0，0）

B（2，2）

C（3，1）

D（2，-1）

AB（2，2），AC（3，1），AD（2，-1）

AC X AB = 32-12 = 4>0

AC在AB的顺时针方向上，即点C在向量AB的下面。

实现步骤：

排序：按照x由小到大排序，如果x相同，按照y由小到大排序。
排序之后第一个点必为凸包上的点（证明自己意淫一下，有x最大、x最小、y最小、y最大的点都必在凸包上）。
选最近两个刚入凸包的点，再在排序中依次选点，根据上面所提及到的原理，判断该点在凸包那两点的顺时针还是逆时针方向。
如果在逆时针方向，将该点加入凸包，否则判定出之前进入凸包的点不合格，删除该凸包点，重复第三步，直到该点加入凸包（也就是说每个点都曾进过凸包，只是后来有些被删了）。
以上就是下凸包的构成步骤，上凸包参考下凸包，基本没有什么差别，因为在判断时是判断是否为逆时针，别误以为是在判段该点在向量的下方，上凸包就不可用了，对于逆时针而言都是一样的。
这种方法求出来的点是凸包沿着逆时针方向找出来的，首位相接且第一个点重复两次，所以除了点只有一个的情况下，记得点的个数减一。

备注：对于题目要求求凸包构成的面积时，可以参考以下图示求法：
在这里插入图片描述
输入样例解释：

11—散点样例个数

5 8 —散点坐标

12 56

5 2

125 1

15 66

45 77

55 6

45 2

232 5

45 12

54 66

输出样例解释：

tot=7 —构成凸包点的个数

1: 5.00 , 2.00 —沿着凸包逆时针方向，且保留两位小数

2: 125.00 , 1.00

3: 232.00 , 5.00

4: 45.00 , 77.00

5: 15.00 , 66.00

6: 12.00 , 56.00

7: 5.00 , 8.00

//求凸包，时间复杂度nlogn
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
using namespace std;const int MaxN=10010;int n,tot;//n为点的个数，tot为凸点的个数
struct point
{double x,y;
};
point p[MaxN],CHP[MaxN];//CHP为凸包最后所构成的点bool cmp(point a,point b)//水平排序，按x从大到小排，如果x相同，按y从大到小排序
{return (a.x<b.x||(a.x==b.x&&a.y<b.y));
}double xmul(point a,point b,point c)//叉积
{return (b.x-a.x)*(c.y-a.y)-(b.y-a.y)*(c.x-a.x);
}void Andrew()
{sort(p,p+n,cmp);tot=0;for(int i=0; i<n; ++i) //计算下半个凸包{while(tot>1&&xmul(CHP[tot-2],CHP[tot-1],p[i])<0)--tot;CHP[tot++]=p[i];}int k=tot;for(int i=n-2; i>=0; --i) //计算上半个凸包{while(tot>k&&xmul(CHP[tot-2],CHP[tot-1],p[i])<0)--tot;CHP[tot++]=p[i];}if(n>1)//对于只有一个点的包再单独判断--tot;
}int main()
{scanf("%d",&n);for(int i=0; i<n; ++i){scanf("%lf%lf",&p[i].x,&p[i].y);}Andrew();printf("tot=%d\n",tot);for(int i=0; i<tot; ++i){printf("%d: %.2lf , %.2lf\n",i+1,CHP[i].x,CHP[i].y);}return 0;
}