我们知道AVL树为了保持严格的平衡,所以在数据插入上会呈现过多的旋转,影响了插入和删除的性能,此时AVL的一个变种伸展树(Splay)就应运而生了,我们知道万事万物都遵循一个“八二原则“,也就是说80%的人只会用到20%的数据,比如说我们的“QQ输入法”,平常打的字也就那么多,或许还没有20%呢。
一:伸展树
1:思想
伸展树的原理就是这样的一个”八二原则”,比如我要查询树中的“节点7”,如果我们是AVL的思路,每次都查询“节点7”,那么当这棵树中的节点越来越多的情况下就会呈现下旋,所以复杂度只会递增,伸展树的想法就是在第一次查询时树里面会经过一阵痉挛把“节点7”顶成“根节点”,操作类似AVL的双旋转,比如下图:
当我们再次查询同样的”数字7“时,直接在根节点处O(1)取出,当然这算是一个最理想的情况,有时痉挛过度,会出现糟糕的”链表“,也就退化了到O(N),所以伸展树讲究的是”摊还时间“,意思就是说在”连续的一系列操作中的平均时间“,当然可以保证是log(N)。
2:伸展方式
不知道大家可否记得,在AVL中的旋转要分4个情况,同样伸展树中的伸展需要考虑6种情况,当然不考虑镜像的话也就是3种情况,从树的伸展方向上来说有“自下而上”和“自上而下"的两种方式,考虑到代码实现简洁,我还是说下后者。
1) 自上而下的伸展
这种伸展方式会把树切成三份,L树,M树,R树,考虑的情况有:单旋转,“一字型”旋转,“之字形”旋转。
单旋转
从图中我们可以看到,要将“节点2”插入到根上,需要将接近于“节点2”的数插入到根上,也就是这里的“节点7”,首先树被分成了3份,初始情况,L和R树是“空节点”,M是整棵树,现在需要我们一步一步拆分,当我们将“节点2”试插入到“节点7”的左孩子时,发现“节点7”就是父节点,满足“单旋转”情况,然后我们将整棵树放到“R树”中的left节点上,M此时是一个逻辑上的空节点,然后我们将R树追加到M树中。L树追加到M的左子树中,最后我们将“节点2”插入到根节点上。说这么多有点拗口,伸展树比较难懂,需要大家仔细品味一下。
一字型
一字型旋转方式与我们AVL中的“单旋转”类似,首先同样我们切成了三份,当我们"预插入20时”,发现20的“父节点”是根的右孩子,而我们要插入的数字又在父节点的右边,此时满足”一字型“旋转,我们将7,10两个节点按照”右右情况”旋转,旋转后“节点10"的左孩子放入到L树的right节点,"节点10”作为中间树M,最后将20插入根节点。
之字形
之字形有点类似AVL中的“双旋转”,不过人家采取的策略是不一样的,当我们试插入“节点9”,同样发现“父节点”是根的右儿子,并且“节点9”要插入到父节点的内侧,根据规则,需要将“父节点10”作为M树中的根节点,“节点7”作为L树中的right节点,然后M拼接L和R,最后将节点9插入到根上。
3:基本操作
1) 节点定义
我们还是采用普通二叉树中的节点定义,也就没有了AVL那么烦人的高度信息。
public class BinaryNode<T>{// Constructorspublic BinaryNode(T theElement) : this(theElement, null, null) { }public BinaryNode(T theElement, BinaryNode<T> lt, BinaryNode<T> rt){element = theElement;left = lt;right = rt;}public T element;public BinaryNode<T> left;public BinaryNode<T> right;}
2) 伸展
这里为了编写代码方便,我采用的是逻辑nullNode节点,具体伸展逻辑大家可以看上面的图。
#region 伸展/// <summary>/// 伸展/// </summary>/// <param name="Key"></param>/// <param name="tree"></param>/// <returns></returns>public BinaryNode<T> Splay(T Key, BinaryNode<T> tree){BinaryNode<T> leftTreeMax, rightTreeMin;header.left = header.right = nullNode;leftTreeMax = rightTreeMin = header;nullNode.element = Key;while (true){int compareResult = Key.CompareTo(tree.element);if (compareResult < 0){//如果成立,说明是”一字型“旋转if (Key.CompareTo(tree.left.element) < 0)tree = rotateWithLeftChild(tree);if (tree.left == nullNode)break;//动态的将中间树的”当前节点“追加到 R 树中,同时备份在header中rightTreeMin.left = tree;rightTreeMin = tree;tree = tree.left;}else if (compareResult > 0){//如果成立,说明是”一字型“旋转if (Key.CompareTo(tree.right.element) > 0)tree = rotateWithRightChild(tree);if (tree.right == nullNode)break;//动态的将中间树的”当前节点“追加到 L 树中,同时备份在header中leftTreeMax.right = tree;leftTreeMax = tree;tree = tree.right;}else{break;}}/* 剥到最后一层,来最后一次切分 *///把中间树的左孩子给“左树”leftTreeMax.right = tree.left;//把中间树的右孩子给“右树”rightTreeMin.left = tree.right;/* 合并操作 *///将头节点的左树作为中间树的左孩子tree.left = header.right;//将头结点的右树作为中间树的右孩子tree.right = header.left;return tree;}#endregion
3) 插入
插入操作关键在于我们要找到接近于”要插入点“的节点,然后顶成“根节点”,也就是上面三分图中的最后一分。
#region 插入/// <summary>/// 插入/// </summary>/// <param name="Key"></param>public void Insert(T Key){if (newNode == null)newNode = new BinaryNode<T>(default(T));newNode.element = Key;if (root == nullNode){newNode.left = newNode.right = nullNode;root = newNode;}else{root = Splay(Key, root);int compareResult = Key.CompareTo(root.element);if (compareResult < 0){newNode.left = root.left;newNode.right = root;root.left = nullNode;root = newNode;}elseif (compareResult > 0){newNode.right = root.right;newNode.left = root;root.right = nullNode;root = newNode;}elsereturn;}newNode = null;}#endregion
4) 删除
删除操作也要将节点伸展到根上,然后进行删除,逻辑很简单。
#region 删除/// <summary>/// 删除/// </summary>/// <param name="Key"></param>public void Remove(T Key){BinaryNode<T> newTree;//将删除结点顶到根节点root = Splay(Key, root);//不等于说明没有找到if (root.element.CompareTo(Key) != 0)return;//如果左边为空,则直接用root的右孩子接上去if (root.left == nullNode){newTree = root.right;}else{newTree = root.left;newTree = Splay(Key, newTree);newTree.right = root.right;}root = newTree;}#endregion
伸展树可以总结成一幅图: