详解全排列算法

简介

给定 {1, 2, 3, , , n}，其全排列为 n! 个，这是最基础的高中组合数学知识。我们以 n=4 为例，其全部排列如下图（以字典序树形式来呈现）：

我们很容易想到用递归来求出它的所有全排列。

仔细观察上图，

以 1 开头，下面跟着 {2, 3, 4} 的全排列；

以 2 开头，下面跟着 {1, 3, 4} 的全排列；

以 3 开头，下面跟着 {1, 2, 4} 的全排列；

以 4 开头，下面跟着 {1, 2, 3} 的全排列。

代码如下：

/**
*
* author : 刘毅（Limer）
* date   : 2017-05-31
* mode   : C++
*/

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

void FullPermutation(int array[], int left, int right)
{
    if (left == right)
    {
        for (int i = 0; i < 4; i++)
            cout << array[i] << " ";
        cout << endl;
    }
    else
    {
        for (int i = left; i <= right; i++)
        {
            swap(array[i], array[left]);
            FullPermutation(array, left + 1, right);
            swap(array[i], array[left]);
        }
    }
}

int main()
{

    int array[4] = { 1,2,3,4 };

    FullPermutation(array, 0, 3);

    return 0;
}

运行如下：

咦~ 递归写出的全排列有点不完美，它并不严格遵循字典序。但是熟悉 C++ 的朋友肯定知道另一种更简单，更完美的全排列方法。

定义于文件 <algorithm> 内的两个算法函数：

1、next_permutation，对于当前的排列，如果在字典序中还存在下一个排列，返回真，并且把当前排列调整为下一个排列；如果不存在，就把当前排列调整为字典序中的第一个排列（即递增排列），返回假。

2、prev_permutation，对于当前的排列，如果在字典序中还存在上一个排列，返回真，并且把当前排列调整为上一个排列；如果不存在，就把当前排列调整为字典序中的最后一个排列（即递减排列），返回假。

/**
*
* author : 刘毅（Limer）
* date   : 2017-05-31
* mode   : C++
*/

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

void FullPermutation(int array[])
{
    do
    {
        for (int i = 0; i < 4; i++)
            cout << array[i] << " ";
        cout << endl;
    } while (next_permutation(array, array + 4));
}

int main()
{

    int array[4] = { 1,2,3,4 };

    FullPermutation(array);

    return 0;
}

运行截图省略。输出结果正好符合字典序。

那这个 “轮子” 是怎么做的呢？（摘自侯捷的《STL 源码剖析》）

1、next_permutation，首先，从最尾端开始往前寻找两个相邻元素，令第一元素为*i，第二元素为*ii，且满足*i < *ii，找到这样一组相邻元素后，再从最尾端开始往前检验，找出第一个大于*i的元素，令为*j，将 i，j 元素对调，再将 ii 之后的所有元素颠倒排列，此即所求之 “下一个” 排列组合。

2、prev_permutation，首先，从最尾端开始往前寻找两个相邻元素，令第一元素为*i，第二元素为*ii，且满足*i > *ii，找到这样一组相邻元素后，再从最尾端开始往前检验，找出第一个小于*i的元素，令为*j，将 i，j 元素对调，再将 ii 之后的所有元素颠倒排列，此即所求之 “上一个” 排列组合。

代码如下：

bool next_permutation(int * first, int * last)
{
    if (first == last) return false;  // 空区间
    int * i = first;
    ++i;
    if (i == last) return false;  // 只有一个元素
    i = last;
    --i;

    for (;;)
    {
        int * ii = i;
        --i;
        if (*i < *ii)
        {
            int * j = last;
            while (!(*i < *--j))  // 由尾端往前找，直到遇上比 *i 大的元素
                ;
            swap(*i, *j);
            reverse(ii, last);
            return true;
        }
    }

    if (i == first)  // 当前排列为字典序的最后一个排列
    {
        reverse(first, last);  // 全部逆向排列，即为升序
        return false;
    }
}

bool prev_premutation(int * first, int * last)
{
    if (first == last) return false;  // 空区间
    int * i = first;
    ++i;
    if (i == last) return false;  // 只有一个元素
    i = last;
    --i;

    for (;;)
    {
        int * ii = i;
        --i;
        if (*i > *ii)
        {
            int * j = last;
            while (!(*i > *--j))  // 由尾端往前找，直到遇上比 *i 大的元素
                ;
            swap(*i, *j);
            reverse(ii, last);
            return true;
        }
    }

    if (i == first)  // 当前排列为字典序的第一个排列
    {
        reverse(first, last);  // 全部逆向排列，即为降序
        return false;
    }
}