如何证明服从卡方分布_谈谈抽样分布定理

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各位阿娜答,这个月就更新了一篇文章,这都月底了,还有两次自荐机会没用,所以最后这几天要更两篇文章,大家敬请期待!明明是夏天,但却是个多事之秋啊~(ง •_•)ง

2020年注定是不平凡的一年,注定要发生大事,擦枪走火,一瞬间的事儿~

希望我辈自强,天佑中华~

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好的,话不多说,开始我们今天的内容吧!今天要讲的抽样分布定理可以说是数理统计的基本定理了,因为它奠定了后面参数估计和假设检验的基础,所以掌握好这个定理以及它的证明十分有必要~

我们今天除了介绍抽样分布定理以外,还会详细推导定理的证明过程,以及阐述它在后续内容中的重要作用~

抽样分布定理

下面给大家解释一下这个基本定理:

  • 在一个总体下,抽样的样本均值仍旧服从正态分布
  • 抽样的样本方差服从自由度为
    的卡方分布;
  • 最后一点,也是最重要的一点,样本均值和样本方差是相互独立的;

初学数理统计,大家会对样本与总体认识不够清楚,说白了,总体就是一个可以源源不断地抽样的仓库,每抽出一个样本,这个样本就是一个随机变量,所有的样本之间都是相互独立的,服从的分布就是同一个总体分布。

至于概率与数理统计的关系,也是很明朗的,大致的思路可以谈一下:

概率的话,属于数学范畴,很严格,从一个随机变量的分布函数或者密度出发,求期望方差各种矩的信息;反过来,数理统计则属于统计的分支,分布未知或者部分未知,通过一些规则与准则来推断里面的参数,涉及参数估计。

但是这个分布有时候是完全未知的,这就涉及到非参数估计了;有时候分布里面只有参数未知,这就涉及参数估计;有的时候分布里面只给了矩的信息(例如期望和方差),没有给分布信息,这时候就涉及半参数估计

抽样分布定理的证明

在证明定理之前,我们需要讲一个定义:

首先,明确多元正态分布如何刻画:

接下来就是三个预备定理,对于抽样分布定理的证明至关重要:

接下来就是对定理的证明啦~

好了,本期到这里就结束了,如果还喜欢我的文章的话,希望大家一键三联一波,我么下期见!(づ ̄3 ̄)づ╭❤~如果大家对这个系列感兴趣的话,别忘了关注本专栏哦,会持续地发这一系列的文章哦!

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主要参考资料说明:《应用数理统计》孙荣恒.

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