Lucas 定理

Lucas 定理：n、m是非负整数，p是素数。那么：

1、C（n，m）% p = Lucas（n，m，p）

2、Lucas（n，m，p）= （C（n%p，m%p）% p）*Lucas（n/p，m/p，p）

证明：

我们将n和m表示成p进制数：n = akak-1..a1(p) m = bkbk-1...b1(p)（位数不够高位补0）

通过简单分析，可以得到： C（n，m）和C（a1，b1）*C（a2，b2）*...*C（ak，bk）关于p同余

n = ak*p^(k-1) + ... + a1 m = bk*p^(k-1) + ... + b1

关于为什么同余，可以通过上面的式子观察出来，也可通过精确推导得出，篇幅所限，这里也不在累述。

我们已经知道了，Lucas定理的公式，但是关键是怎么编码来得出结果呢？

也许你会说，那还不简单，直接递归就搞定了，其实没那么简单，还有一个重要的问题没解决，C（ai，bi）（mod p）的求法。

这里还涉及到逆元以及欧拉-费马定理的应用。

关于C（n，m）（mod p）（p为素数）的求法：

1、C（n，m）= n! / （m! * （n - m）!）（组合数的求法）

2、（a / b）（mod p） = （a * x）（mod p） x表示b的逆元并且 b * x = 1 （mod p）（乘法逆元）

3、b^phi(p) = 1 （mod p）（b和p互质，phi(p)为p的欧拉函数值）（欧拉-费马定理）

通过上述三式，我们知道了C（n，m）（mod p）的求法，用fac[i] = i! % p

C（n，m）（mod p） = fac[n] * pow(fac[m]*fac[n-m]，p-2)

code：

 1 #include <cstdio>
 2 typedef __int64 LL;
 3 const int MAXN = 1000005;
 4 LL n, m, p;
 5 LL fac[MAXN];
 6 
 7 // 得到阶乘  fac[i] = i! % p
 8 void GetFact()
 9 {
10     fac[0] = 1;
11     for (LL i = 1; i < MAXN; ++i)
12         fac[i] = fac[i - 1] * i % p;
13 }
14 
15 // 快速模幂 a^b % p
16 LL Pow(LL a, LL b)
17 {
18     LL temp = a % p;
19     LL ret = 1;
20     while (b)
21     {
22         if (b & 1) ret = ret * temp % p;
23         temp = temp * temp % p;
24         b >>= 1;
25     }
26     return ret;
27 }
28 
29 /*
30 欧拉定理求逆元
31 
32 (a / b) (mod p) = (a * x) (mod p) x表示b的逆元 并且 b * x = 1 (mod p) 只有b和p互质才存在逆元
33 
34 b * x = 1 (mod p) x是b关于p的逆元
35 
36 b^phi(p) = 1 (mod p)
37 
38 b * b^(phi(p) - 1) (mod p) = b * x (mod p)
39 
40 x = b^(phi(p) - 1) = b^(p - 2)
41 
42 (a / b) (mod p) = (a * x) (mod p) = (a * b^(p - 2)) (mod p)
43 
44 经过上面的推导，得出：
45 
46 (a / b) (mod p) = (a * b^(p - 2)) (mod p) (b 和 p互质)
47 
48 */
49 LL Cal(LL n, LL m)
50 {
51     if (m > n) return 0;
52     return fac[n] * Pow(fac[m] * fac[n - m], p - 2) % p;
53 }
54 
55 LL Lucas(LL n, LL m)
56 {
57     if (m == 0) return 1;
58     return Cal(n % p, m % p) * Lucas(n / p, m / p) % p;
59 }
60 
61 int main()
62 {
63     int nCase;
64     scanf("%d", &nCase);
65     while (nCase--)
66     {
67         scanf("%I64d %I64d %I64d", &n, &m, &p);
68         printf("%I64d\n", Lucas(n, m));
69     }
70     return 0;
71 }