广义积分1

这几天，突然下了比较大的雪。打算翻出一道积分习题做做。

$$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\cos x}{x^2+a^2}\text{d}x$$ 其中$a>0$

 

不知道这个积分是从什么问题中被提出来的(会不会是几百年前某些人研究某个东西得到的？)。打算用Residue formula来算,应该有软件可以自动算这些积分了.（Mathematica应该可以）,不过我机器比较老了。

新版的软件总是比较大。还是自己手动算下。

算这个函数$$f(z)=\frac{e^{iz}}{z^2+a^2}$$在$$\{(x,y)|x^2+y^2=R^2,y \geq 0\} \bigcup \{(x,y)|-R\leq x \leq R, y=0\}$$

的积分. 由Residue公式,$R>a$的时候，有

$$\int_{\Gamma}\frac{e^{iz}}{z^2+a^2} \text{d}z=2 \pi i \frac{e^{-a}}{2ai}$$

由于在圆弧上,有$$\left|\int_{\Gamma_R}\frac{e^{iz}}{z^2+a^2}\text{d}z\right|\leq \int_0^{\pi}\left|\frac{e^{iRe^{i\varphi}}}{R^2e^{i2\varphi+a^2}}Re^{i\varphi}i\right|\text{d}\varphi$$

$$\leq \frac{M}{R} \rightarrow 0$$

当$R \rightarrow +\infty$的时候，$$\int_{\Gamma}\frac{e^{iz}}{z^2+a^2} \text{d}z = \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{ix}}{x^2+a^2}\text{d}x$$

取实部，得到

$$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\cos x}{x^2+a^2}\text{d}x=2\pi i  \times \frac{e^{-a}}{2ai} = \frac{\pi}{a}e^{-a}$$

我没试过用其他方法来计算这个积分.应该还有别的方法.雪化的比较快

 用Residue formula算这个积分不用花什么力气。不过这个积分应该是几百年前的东西。不知道那个时候的人是怎么算这个。虽然借助于Residue可以算出来。不过内心任然觉得无法理解。