为什么不能除以0?

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爆炸吧知识

说出来你可能不信

但这是真的

今天学习了除法的表妹跑来问我:为什么不能除以0?

就这个问题,我专门请来了高冷的Siri

同样是数字,0为什么就会这么惨呢?

小学生

小学老师会直接给你来一句:别问,问就是没意义!

怎么理解?

我们说1÷2可以理解为1个东西分成2份。

同样:1÷3可以理解为1个东西分成3份。

但是:1÷0可以理解为1个东西分成0份。

就是说,你啥也不用干!那啥也不用干,你为什么还要除以0呢,所以没意义。

这结论没错,但这么严谨的数学学科,怎么解释的一点逼格也没有呢?

初中生

所以,接下来超模君稍微认真点。

首先,除法起源于乘法,乘法的逆向运算。说这个有什么用呢?因为面对除法式子,我们可以把它转化为乘法式子。

比如在被除数不为0的时候:

1 ÷ 0 = ?

我们可以理解为0乘以一个数等于1,但是常识告诉我们不可能,因为0乘以任何数都是0。

另外,当被除数是0的时候:

 0 ÷ 0 = ?

我们可以理解为0乘以一个数等于0,嗯,没错啊,因为0乘以任何数都是0。

但到底是什么数啊?意味着 0 ÷ 0有无数个答案,根本无法确定。

高中生

当然,我们可以换个角度想想,用武林中失传已久的方法:反证法!

首先假设可以除以0,那么任何一个数除以0之后就一定会有一个结果出现。我们用不同的字母代表可能会出现的结果。比如:

 1 ÷ 0 = a

 2 ÷ 0 = b

 3 ÷ 0 = c

……

因为除法是乘法的逆向运算,我们可以得出:

1 = a × 0 = 0

2 = b × 0 = 0

3 = c × 0 = 0

……

进一步可以推出,1=2=3=……=0。因此,假设不成立。

什么都是0,这不就是要四大皆空的节奏吗?

大学生

可能有些学过微积分的朋友会反驳,“可以除以0的,结果不就是∞么。”

实际上,这个说法并不对。

首先我们用极限思维来思考这个事情。

1÷0.1=10

1÷0.01=100

1÷0.001=1000

1÷0.0001=10000

......

1÷0.000000000......00001=10000.......00000

意味着1除以一个很小很小的正数,得到一个超级大的正数。

同理:

1÷(-0.1)=-10

1÷(-0.01)=-100

1÷(-0.001)=-1000

1÷(-0.0001)=-10000

......

1÷(-0.000000000......00001)=-10000.......00000

意味着1除以一个很小很小的负数,得到一个超级大的负数。

1除以一个无穷接近于0的正数和一个无穷接近于0的负数,走向的结果一个是正无穷,一个是负无穷。在这个中间经历了多大的鸿沟,到底经历了什么,我不得而知。而他们的中间,除以的正是0。

因此,微积分课程里会强调,∞这个符号只是代表一个趋势,并不是一个确切的数,是不能参与运算。

硕士研究生

看到这里,同学们肯定不会服气:虽然一个数除以0是未定义的,但并不是就意味没有啊。

没错,的确如此。

于是一个大胆的想法蹦了出来:制定新规则。毕竟,数学家也不是没有试过。

在过去很长一段时间里,平方根里面是不能放负数的。后来数学家将负数的平方根定义为一个新的数字,称为i,一个全新的复数的数学世界从此被开辟了。

既然他们都可以这样做,我们也来凑个热闹呗,直接定义 1 / 0  = w,w是个“无限大”的数。

定义一时爽,一直定义一直爽。

我们虽然可以随便定义东西,但如果和现有的数学体系不相容,就会用得很苦逼,甚至不能用。

那么先来几个简单问题:1 + w等于多少?w - w等于多少?

我们可能会有这样的的直觉:无穷大加1不也是无穷大么!至于无穷大减无穷大不就等于0,自己减自己嘛!

我们不妨来加减一下。

 1 + ( w - w ) = 1 + 0 = 1

可是

( 1 + w ) - w = w - w = 0

这里面涉及到的结合律,是加法里最基本的东西。也正因为它,才使得许多数学定理得以证明。

可想而知,如果结合律坍塌,那涉及到它的数学定理也一样兵败如山倒。为了能除以0,舍弃如此重要的结合律,明显不划算。

那还不如老老实实用旧体系。

说人话就是这个定义......

博士研究生

有些同学可能不服气,就是要反对:还有很多的定义方式,我就不信没有!而且将来也会有新的办法啊。

如果有能够将除以0完美融入现代数学体系的办法,那自然是最好,然而不大可能。其他学科可以通过新发现来推翻旧结论,但在数学里走不通。因为数学在两千多年的发展都是建立逻辑上,假如确实存在w这一个数,那么它一定违反了我们现有数学体系中的公理。

比如“皮亚诺公理”

Ⅱ、每一个确定的自然数a,都具有确定的后继数a  ,a 也是自然数(数a的后继数a 就是紧接在这个数后面的整数(a+1)。例如:1 =2,2 =3等等。)

Ⅳ、不同的自然数有不同的后继数,如果自然数b、c的后继数都是自然数a,那么b=c。

那么问题又又来了, w 是哪个数的后继数啊?哪个数加上1能得到 w?

你会发现根本说不出来,因为所有你能想到的数字都已经有属于自己的后继,只要把 w 当成一个数,那就没法兼容我们现有的实数。

值得一提的是,如果皮亚诺公理没了,整个自然数的体系就都不能成立。

8岁表妹必读

那是不是就意味着表达式 1 / 0 = ∞ 也不能写?

也不是不能。

事实上,还有一种“黎曼球面”的概念,是一种将复数平面加上一个无穷远点的扩张。

里面涉及到“复无穷”的一个东西,是扩充复平面上有定义的一个点。

在这个特殊的规则下你可以写下 1 / 0 = ∞ 这样一个表达式,但无穷远点的算数区别于一般的代数规则不符。比如你不能把0放到式子右边,写成 1 = 0×∞。

然而这个黎曼球解决的并非是我们能否除以0的问题,它主要应用在分析和几何的其他学科,譬如量子力学和物理学其他分支。

说到底,0能不能作为除数只是一个规定问题,如果确实要讨论的话,那就只是在讨论这个规定的合理性,所以在通常意义下0不能作为除数,否则会违反了一些非常重要的公理,而这些公理的地位可是非常之深。

当你可以完美的除以0,就推翻整个数学界了。

作者简介:超模君,数学教育与生活自媒体博主,新晋理工科奶爸。出版有《芥子须弥 · 大科学家的小故事》;推出过有数学界收藏价值的《数学之旅·闪耀人类的54个数学家》。

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