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爆炸吧知识
不平凡的2020年早已过去了，打工人们已经跨过了2021年的门槛。2021年将会怎么样，那只有到2021年结束后我们才会知道。
但我们的情绪常常毫无例外地会被“年终奖”这个关键词所扰动，无论在什么时候，也无论是兴奋的还是沮丧的。
当然土豪除外，因为他们不需要年终奖。
某联招聘的《2020年白领年终奖调研报告》在2021年2月1日发布了。这是份直击广大人民群众灵魂的报告，让我们先看看其中的“2020年不同城市白领年终奖均值”Top35情况。
有没有很扎心，有没有感觉到“伤害性不强，侮辱性极大”！
对，没错，我知道我又属于了那些拖后退的人之一。不说了，先去厕所里哭晕一会…
但哭归哭，晕归晕，在擦干眼泪后，我仔细想了一想，然后弱弱地直接对自己说，它给我传导了错误信息。也许我真的没有那么差劲，而且怎么也得找个理由对我的父母、另一半、亲朋好友好好解释一番。
是的，“平均值”这个统计方法在有时候真的很是不靠谱（我真的不是在狡辩）。要知道在统计学中，计算“平均数“的方法可不仅仅只有”平均值“，还包括”中位数“和”众数“。”平均值“、”中位数“和”众数“都是对数据集中数据中心的度量，只不过计算方法和特质不一样而已。
所谓平均值（这里是专指算术平均值，不是几何平均值等其他计算方法），是将数据集中所有数据值的总和除以数据值的个数的方法，即设数据集中有一组n个数据{ x1，x2，…，xn}，则其平均数。
例如，我所在的部门，我和我的同事一共9个屌丝，发了如下的年终奖｛5万,6万, 6万, 7万, 8万,9万,8万,10万,11万｝（再一次申明，这是样例数据，我们真的没有发这么多），按照平均数公式计算则为
(5 + 6 +6 + 7 + 8 + 9 + 8 + 10 + 11) ÷ 9 = 7.778万
那么这组打工人的平均年终奖图形化的情况大概是这样的：
当有某个熟人问我年终奖发了多少时，日常生活拮据的我为了防止被他借钱，只告诉了ta一个最小值。但ta一脸的愤怒，不屑地指出我是多么地不厚道。我只好又告诉那个平均数，ta还是继续摇着头。我咬咬牙，一不做二不休，无奈地说出了最高的那个年终奖钱数。这倒ta彻底地怒了：“据我所知应该至少是七位数吧，你这么的不真诚。”what？平均百万的年终奖，为什么我才拿了6位数还没到的钞票，现在该轮到我愤怒了。
这是怎么回事？原来隔壁部门有一位大神级人物突然加入我们屌丝团队，一起计算了平均值，那么效果就不一样了。大神的年终奖为1000万，按照最新的数据计算年终奖平均值则为
(5 + 6 +6 + 7 + 8 + 9 + 8 + 10 + 11 + 1000) ÷ 10= 107万
哎哟喂，原来我们都是平均年终奖过百万的人群了，这样气氛就不一样了！
但这样科学吗？当然不科学！
这就是我们经常诟病的统计学“平均值陷阱”：我家年收入2万，隔壁家年收入为3万元，而对面别墅区一家的年收入是2995万，大家一平均，全是年收入千万的富裕家庭了。
平均值是人类数学智慧的结晶，要知道人类仅仅从“三只老虎“、”三棵树“、”三座山“抽象出”3“这个数量就花费了几十万年（或上百万年）的时间。平均值曾经破解了古代统计学上著名时间难题。
比如，据印度史诗《摩诃婆罗多》(Mahabharata)记载﹐在公元前四世纪，古印度部落首领帕纳通过平均值估算了一棵尾避多伽(vibhitaka)果树两个枝干上的叶子和果实的数量。他的具体方法是先统计某一根树枝上的叶子和果实的数量，然后乘以两个树干上的树枝数。
帕纳用这种方法计算的结果是那棵树总共结了2095个水果和 50 000 000 片叶子。最后他发动了自己的族人，经过一个晚上的详细统计，发现他的平均值估算结果与真实情况非常接近。
但在很多场景下，平均值对数据集的集中性进行考量是有问题的，特别在一组统计样本中出现了极端数值的时候。
于是，由于平均值在现实世界中各种问题，所谓数量统计学中的“中位数”计算就渐渐浮出水面了。
人类最早有文本记录的“中位数”出现在大航海时代的1599年，航海家爱德华·赖特在他所著的一本关于航海的书模糊地提到了“中位数”。
爱德华·赖特绘制的航海图（1599-1600）
在变化无常的海浪中，爱德华·赖特和他的同事需要使用各类测量仪器在大海上进行导航和定位。通过长期对航海数据（例如方位和距离等）观测、记录和分析，他发现最中间的测量数据是最有可能是接近描述真相的测量结果。但从赖特的那本书来看，他是否真的发现中位数还不确定。
人类社会进化到科学爆炸式的十九世纪。在整个十九世纪，很多科学家因为不同的理由使用了中位数作为平均值的替代计算。
1874年，德国心里物理学家费希纳（Gustav TheodorFechner,1801年4月19日-1887年11月18日）使用了中位数试图描述许多社会学和心理学现象。这种统计学的研究方法之前在天文学中被证明是有用的。于是，费大神主张用中位数去度量不规则的非对称数据中心位置。
1882年，现代数理统计的奠基人、英国维多利亚时期百科全书式的科学家、探险家高尔顿(FrancisGalton,1822年2月16日-1911年1月17日)第一次使用英语术语“中位数(Median)”，正式开启了对这一统计概念的认知。高尔登通过对大量的数据进行归纳分析，发现中位数很重要，因为它易于计算，并且表达直观清晰又准确。于是，高尔顿的精心设计，在1889年公布了较为复杂的四分位数法来表达中位数。
所谓的四分位数就是把数据集中的数据按数值大小长序排列后，分成4个部分，每个部分包括全部数据的四分之一即25%。每个部分划分的临界值就是所谓的四分位数。就像一个线段需要三点把它分为四段，四分位数有三个，分别是下四分位数、中位数和上四分位数，用Q1、Q2、Q3来表示。
设数据集中有序数据的个数为n，则Q1、Q2、Q3的位置计算公式为：
a
例如，使用上面用Q1、Q2、Q3三个公式对7个有序数值的数据集{2, 4, 4, 5, 6, 7, 8}进行四分位数计算则有：
不过，尽管有古诺（Antoine Augustin Cournot，1801年8月28日-1877年3月31日）、费希纳、高尔顿等大佬们的力挺，但在19世纪，“中位数“大多被科学家所忽视，而用平均数度量去数据的趋势则被普遍看好。
到20世纪，中位数越来越多应用于顺序数据的分析统计，因为使用平均值分析存在极端数据的数据集是存在很多缺点的。中位数比较平均值来说，分析大数据的中心趋势更加稳健（1953年，统计学界开始使用术语“稳健”来表示统计方法对异常值的不敏感性）。
随着21世纪大数据时代的到来，统计应用于越来越多的不规则数据的领域，统计方法的应用越来越广泛，而中位数已经变得越来越流行。
当然现在的中位数计算方法比高尔顿朝代要更加完整了。
其具体计算方法为：对于一组升序排列（从小到大）的数据集{}，有中位数计算公式为：
例如，对于一个有n=15（奇数）个数据的数据集｛3, 13,7, 5, 21, 23, 39, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29｝，根据以上公式计算中位数则有：
例如，对于有n=14（偶数）个数据的数据集｛3, 5,7, 12, 13, 14, 21, 23, 23, 23, 23, 29, 40, 56｝，根据以上公式计算中位数则有：
回到上面那个9个打工人再加一个大佬年终奖问题｛5万,6万, 6万, 7万, 8万,9万,8万,10万,11万,1000万｝，排序后为｛5万,6万, 6万, 7万, 8万,8万,9万,10万,11万,1000万｝，用中位值对其进行“平均数”的计算，则有
图形化分析结果为：
而所谓的“众数”就是一组数据中出现次数最多的数值（可能为零个、一个或多个），这个概念比较简单，比如数据集｛1，2，3，3，4，5，6｝的“众数”为3，而上面这个年终奖的例子中“众数”应为6万和8万。
因此，摒弃不靠谱的年终奖“平均值“107万，用”中位数“8万来考量所有样本年终奖情况。
如果能够这样公布年终奖的中位数，大家心里就会舒坦多了，不再泪流如河。
对于我们打工人来说，要时刻记住打工人的那句语录“生活中有80%的痛苦来源于打工，但不打工就会有100%的痛苦来源于没钱。”无论如何，我们还是要在2021年继续努力的，该搬砖的还得继续搬砖，虽然它已经只剩下不到十个月了。
最后，打工人已经开始了新的一年打工生涯。无论有没有年终奖，有多少年终奖，打工人们日子还是继续的！如果仍有人对你叽叽歪歪，那么你就把篇文章发到ta的眼前，然后请ta好好地认真读一遍，并且告诉ta在数据统计中种种陷阱里，有许多看似客观的数据分析隐藏着诸多不易察觉的谎言。
写在最后
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作者简介：晨星，湖北武汉人，副高职称，理学博士，高级程序员，IAMG（国际数学地质协会）会员，省级医学人工智能与大数据专委会委员。
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参考文献：
智联招聘.《2020年白领年终奖调研报告》. 2021
StephenM. The history ofstatistics : the measurement of uncertainty before 1900[M]. Belknap Press ofHarvard University Press, 1987.
Plackett R L . Studies in theHistory of Probability and Statistics: VII. The Principle of the ArithmeticMean[J]. Biometrika(1-2):130-135.
Porter T M . The Rise of StatisticalThinking, 1820–1900[M]. 2020.
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