---

一、邻接矩阵存储图的深度优先遍历过程分析

对图1这样的无向图，要写成邻接矩阵，则就是下面的式子：

一般要计算这样的问题，画成表格来处理是相当方便的事情，实际中计算机处理问题，也根本不知道所谓矩阵是什么，所以画成表格很容易帮助我们完成后面的编程任务。在我们前面介绍的内容中，有不少是借助着表格完成计算任务的，如Huffman树。

为了记录那些顶点是已经走过的，还要设计一个表来标记已经走过的顶点，在开始，我们假设未走过的是0，走过的是1，于是有：

深度优先遍历过程如下：

（1）从第1行开始，寻找和V1相连的第1个顶点，首先在Visited表中标记V1被访问到，就是：

在该行，我们找到的第一个连接顶点是V2，找到V2顶点后，记录：V1->V2，意味着我们已经抵达V2，注意修改邻接矩阵表；

（2）然后则转向V2顶点所在的行，意味着我们已经抵达V2，再次在Visited表中标记V2顶点已经被访问，就是：

然后，寻找连接V2的、并且是未被访问过的第一个顶点，就是V4：记录V2->V4；

（3）然后则转向V4顶点所在的行，意味着我们已经抵达V4，再次在Visited表中标记V4顶点已经被访问，就是：

然后则转向V4顶点所在的行，寻找连接V4的、并且是未被访问过的第一个顶点，就是V8：记录V4->V8；

（4）然后则转向V8顶点所在的行，意味着我们已经抵达V8，再次在Visited表中标记V8顶点已经被访问，就是：

然后则转向V8顶点所在的行，寻找连接V8的、并且是未被访问过的第一个顶点，就是V5：记录V8->V5；

（5）然后则转向V5顶点所在的行，意味着我们已经抵达V5，再次在Visited表中标记V5顶点已经被访问，就是：

寻找连接V5的、并且是未被访问过的第一个顶点，此处未找到，注意V2、V8顶点已经在Visited表中标记已访问过。

（5）这个地方一定注意：V5上找不到未访问过的顶点，说明此路到此就算走死了。

此时看Visited表：其中还有顶点没有抵达过，于是要按原路返回，所谓原路就是从表12、表10、表9走过的路线返回、然后逐个查找这些顶点上有无未抵达过的顶点。过程如下：再次从V5返回到V8，查找V8上有无未抵达过的顶点，结果是无；
再次从V8返回到V4，查找V4上有无未抵达过的顶点，结果是无；
再次从V4返回到V2，查找V2上有无未抵达过的顶点，结果是无；
再次从V2返回到V1，查找V1上有无未抵达的顶点，结果是V3，于是重复第(1)步，首先标记V3访问到：
标记V1->V3，标记Visited表V3被访问：

到V3，就是这样的情况：

（6）到达V3后，寻找第一个未被访问过的顶点：V6，首先标记Visited表，说明已经抵达V6，就是：

再从V6开始找下一个顶点就是V7：

（7）在Visited表中标注V7已经访问到，就是：

至此，图1的深度优先遍历完成。

二、结果分析

从上面的过程可以看出：仅仅就顶点访问到的次序而言，图1的深度优先遍历结果是：

V1->V2->V4->V8->V5->V3->6->V7

但实际执行过程中我们可以发现：所谓图的遍历、其结果应该是一个树：

在C语言中，显示这个结果并不容易，所以大多教材中并不会给出这样的结果。

三、C语言编程实现图的深度优先遍历

图1只有8个顶点，可在实际中，一个图的顶点个数是不确定的，在编程中要保存顶点数据、邻接矩阵，首先就要考虑动态数组；其次，为了方便邻接矩阵的输入和修改，最好是把数据保存在文本文件中。在我们的教材中、程序使用了键盘输入的方式，而在实际操作中、在图的顶点个数比较多的情况下，手工无差错输入很多数据、几乎是无法办到的事情，为此，我们在文件p176G719.txt中保存了图1的邻接矩阵数据。这个文件的名称含义是：教材176页图7.19的顶点名称和邻接矩阵数据。有了这样的数据文件，在记事本程序中可以很方便的修改和补充数据。这个文件的内容如下：

8
V1
V2
V3
V4
V5
V6
V7
V8
0 1 1 0 0 0 0 0
1 0 0 1 1 0 0 0
1 0 0 0 0 1 1 0
0 1 0 0 0 0 0 1
0 1 0 0 0 0 0 1
0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 1 0 0 1 0 0
0 0 0 1 1 0 0 0

这个文件第一行是8，说明这个图有8个顶点，随后在第2行到第9行，则是图的顶点名称，第10行到末尾，则是该图的邻接矩阵。

根据不同的图，在记事本程序中完成这样的数据是非常简单的事情，哪怕错了再修改也是很容易做到。

1 设计图的存储结构以及数据文件读取

图的存储、无论哪种方法，都是由两部分组成的，一个是顶点名称集合，一个是顶点关系集合，在邻接矩阵方式中，顶点名称是一个字符串数组，而顶点关系则是一个矩阵、这个矩阵在C语言中是一个二维数组。于是图的结构可以是：

struct Graph
{int    A[100][100]; //邻接矩阵char  V[100][20];  //顶点名称矩阵，100行，每个名称字符串不超过20字节int num;          //顶点个数int  Visited[100];  //访问记录表
};

但这样的定义很死板，它假设程序最大是100个顶点，实际我们的教材中就是这么定义的。但幸好我们前面已经知道该怎么处理二维数组，于是这里我们可以动态申请内存，以保证在很多顶点的情况也能使用，对二维数组，则上述定义变为：

struct Graph
{int  **pA;  //邻接矩阵指针char **pV;  //顶点名称指针int num;    //顶点个数int *Visited;//访问记录表指针
};

对这样数组的构造，参见第5部分：数组，好在我们前面有过介绍。

回忆一下，如有数组：

int A[3][3]={{1,2,3},{4,5,6},{7,8,9}};

则A[0]、A[1]、A[2]则代表每一行的地址，一般称为行首地址，比如这三行行首地址分别是[100]、[200]、[300]，这三个地址数据分别存储在地址[2000]、[2001]、[2002]的存储空间里，则地址[2000]就是这个数组A的含义，就是所谓行首地址数组的首地址。
反过来，如:

int *p[3];
p[0]=A[0];p[1]=A[1];p[2]=A[2];

上面的式子里，如p[0]地址为[3000]、[3001]、[3002]，其中的内容保存的是100、200、300，这样就相当于保存了A数组的行首地址，所以p就是个二维数组行首指针数组，只不过它仅仅是三行的二维数组。如把p[0]的地址给另外一个指针变量pA，则pA就是：

int  **pA;

假如这个变量的地址在[5000]，给这个变量赋值：

pA=&p[0];

于是地址[5000]中将存储3000，这里pA和A的含义是一致的。实际数组A本身就是地址[5000]，如有以下语句：

X=A[1][2];

就是从A的地址[5000] 、读到内容3000、再从3001读到200、再从200后取第1个数，过程如下图3所示：

针对n个顶点，则初始化一个图的函数就是：

#define VLENGTH 20     //定义每个顶点名称不超过20字节
struct Graph *GraphInit(int n)
{int i;struct Graph *g;if(n<=0) return NULL;g=(struct Graph *)malloc(sizeof(struct Graph));g->num=n;g->pA=(int  **)malloc(sizeof(int )*n);g->pV=(char **)malloc(sizeof(char)*n); for(i=0;i<n;i++){g->pA[i]=(int  *)malloc(sizeof(int)*n);g->pV[i]=(char *)malloc(sizeof(char)*VLENGTH);}g->Visited=(int *)malloc(sizeof(int )*n); for(i=0;i<n;i++)g->Visited[i]=0; return g;
}

注意第9行，是为行首地址数组申请内存；

注意第13行，是为每行数据申请存储空间；

注意第14行，前面定义每个顶点的名称是VLENGTH长度，这里是20字节。

由于C语言的指针可以用下标法读写内容，所以完全可以把pA、pV当做普通的二维数组来处理，此处不再叙述。

2 从文件中读数据到邻接矩阵和顶点名称矩阵

这个过程在链表的处理中已经介绍过了，只不过数据格式有差异而已。针对我们前面介绍的数据格式，读数据文件并构造图的函数如下：

struct Graph * GraphCreat(char FileName[20])
{int i,j,n;FILE *fp,*fopen();struct Graph *G;fp=fopen(FileName,"r");if(fp==NULL) return NULL;fscanf(fp,"%d",&n);G=GraphInit(n);for(i=0;i<n;i++)fscanf(fp,"%s",G->pV[i]);for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++)fscanf(fp,"%d",&G->pA[i][j]);fclose(fp);return G;
}

第8行首先读文件中顶点个数，然后根据顶点个数、使用GraphInit()申请内存并构造这个图的存储空间，然后在第10行读n个顶点名称、在第12行按二维数组的组织读邻接矩阵。最后，返回G就是包含有顶点名称、邻接矩阵的图的存储空间。

有了这两个函数后，就可以编写main()来测试它们，就是：

main()
{int i,j;struct Graph *G;G=GraphCreat("p176G719.txt");//打印顶点名称for(i=0;i<G->num;i++)printf("%s ",G->pV[i]);printf("\n");//打印邻接矩阵for(i=0;i<G->num;i++) {for(j=0;j<G->num;j++)printf("%d ",G->pA[i][j]);printf("\n");}
}

这个程序第5行，你可以修改成用scanf()来读到一个文件名称字符串，然后，就可以使用任何格式符合要求的数据文件了。
G0.C中还包含有GraphFirstAdj()、GraphNextAdj()、GraphDestory()三个函数，这些函数的意义你能看懂么？

2 深度优先遍历的编程实现

从前面算法分析过程可知：对一个图的深度优先遍历，实际就是从第n个顶点开始、标记该顶点已被访问，然后查找该顶点上第一个和它相连、并且未被访问到的顶点、比如是第i个顶点，再去第i个顶点，如此繁琐的说这些，实际就是：

void DFS(struct Graph *G,int n)
{int i;if(G==NULL) return;if(n<0||n>G->num) return;G->Visited[n]=1;printf("%s ",G->pV[n]); for(i=0;i<G->num;i++)if(G->pA[n][i]!=0&&G->Visited[i]!=1) DFS(G,i);
}

第6行是标记该顶点被访问；

第9行就是：查找第n个顶点上、未被访问到的顶点，如找到该顶点、且顶点编号是i，则再次DSF(G,i)；

有了这个函数后，构造main()开始从第0个顶点遍历图1，就是：

main()
{int i,j;struct Graph *G;G=GraphCreat("p176G719.txt");for(i=0;i<G->num;i++)printf("%s ",G->pV[i]);printf("\n");for(i=0;i<G->num;i++) {for(j=0;j<G->num;j++)printf("%d ",G->pA[i][j]);printf("\n");}DFS(G,0);printf("\n");
}

进一步测试该函数，按图1的数据仔细分析下它的执行过程，如有图的连接分量不为1，则会在第一个连接分量遍历完成后终止。如下图4，在G1.C中是无法全部遍历完成的。这个图的文件在G4.TXT，修改表23中第5行，从G4.TXT中读数据，则会发现这个程序仅仅遍历了A、B、C、D，而没有到达过E、F、G这三个顶点。

为确保多个分量的图都能顺利遍历完成，则该函数退出后还需要判断是有顶点是否确保全部遍历完成、并确保每次遍历开始的时候、其访问数组Visited[]中全部是0，就是：

void DFSTraverse(struct Graph *G)
{int i;if(G==NULL) return;for(i=0;i<G->num;i++)G->Visited[i]=0;for(i=0;i<G->num;i++)if(G->Visited[i]==0) DFS(G,i); 
}

表24中函数，很容易修改成计算图的连接分量的函数，这个工作就由同学们自己完成。如果你遇到困难无法完成，参见G3.C
略加修改main()函数，补充：

DFSTraverse(G);

即可完成图4的深度优先遍历。到此，C语言的深度优先遍历到此结束。

四、图的遍历及其应用

1 图的关节点

图的关节点、在图上或许仅仅是个理论或者方法，但对GIS而言，却绝对是个重要意义的理论、尽管目前还没见到这类应用。
求解图的关节点、是典型的深度优先遍历应用，首先我们从教材中找到G5的图，其邻接矩阵如下：

从A点开始、进入A点后由邻接矩阵右端向左遍历，其结果就是：ALMJBHKGIDECF

仔细根据上述结果、可以得到图5这样的深度遍历生成树。

注意图5：每个结点上标注的数字是在深度优先遍历上抵达的次序。

对这个邻接矩阵，我们从右向左做了深度优先遍历，这代表着一个方向，然后，我们要从左到右、在遍历的时候、逐个结点寻找与当前结点相连的最小次序结点（这里一直没想好个比较恰当的措辞来描述这个概念），而这个结点、则构成了所谓的回边路径，如图5中虚线所指的线路，如J-L、B-A等线路。这种线路很关键：它的物理意义是：你可以通过B直接抵达A、或者C直接抵达A、G直接抵达B等等，这些回边路径，则立刻喻示着你炸毁K点、对I点则没什么影响。

从右向左深度优先遍历，这里的现实意义就是说：从其他各个顶点回到A的情况。

相连最小次序结点序号，通常用Low[ ]数组来表示，比如J结点，这个值就是2，它代表着J可以抵达第2个遍历到的结点L，这就是所谓的回边路径。同理，对于C，这个值是1，它代表着在C点，可以直接到A。

如果当前结点下标是v，而在Visited[v]代表这个结点深度遍历中的次序，w代表v顶点在生成树上的孩子结点下标，k代表v的祖先结点下标，则：

Low[v]=min{Visited[v],Low[w],Visited[k]}

当然，这个式子很简洁，要真正计算出来Low[ ]的值、显然要在程序上说了算。而要在编程中体现这些，还要首先是能手工计算出这个值来。

2 关节点的计算

首先我们设计表格如下：

(1) 顶点A，步骤1

对于A，它就是来自步骤1，就是A，于是Low为1。

(2) 顶点L，步骤2

现在，根据遍历的次序，我们抵达L这个顶点，注意L的邻接矩阵：

从表27可知：深度优先遍历经过的顶点里有A、J、M，其中只有A是深度优先遍历访问过的顶点、所以最小次序号是1，也就是A是L能直接抵达的回边路径上的顶点，所以，表26就是以下结果：

(3) 顶点M，步骤3

现在，我们根据表28抵达顶点M，这个顶点的邻接矩阵表如下：

这个地方可以看到：M可以和B、J、L相连，但B、J尚未被访问过，而M又从L而来，所以此时M的回边就是L的回边，于是有：

(4) 顶点J，步骤4

根据遍历的次序，我们进入顶点J，此时邻接矩阵如下：

对于顶点J，这里可知与L、M相连，从表30知道L是步骤2到达、M是步骤3到达，取步骤次序最小、即为2，它意味着在顶点J上可以抵达深度遍历次序为2的顶点、就是L，于是有：

从这个表第4步，我们回头看图5，就相当于J与L之间的连接虚线。在L、M之间找最小连接次序的意义是：把M炸掉、J依然能回到L。

(5) 顶点B，步骤5

依然要看邻接矩阵，B顶点是：

在这里，我们发现B与A、C、D、G、H、M相连，其中：A、M是深度优先遍历已经遍历过得顶点，找最小次序的、就是A，也就是第一步就抵达的顶点，所以有：

(6) 顶点H，步骤6

再次看邻接矩阵表，H顶点就是：

可以发现H与B、G、K连接，其中B是深度优先遍历访问过的顶点，注意到B的是在第5步访问的，所以有：

对于顶点H，该顶点是由邻接矩阵这种硬性连接造成的回边路径只能是5、就是说它只能通过B回到A，这就非常麻烦，立刻喻示着B是一个关节点。

(7) 顶点K，步骤7

同样要仔细看邻接矩阵，K就是：

我们看到K与G、H相连，但这两个顶点目前都没有被深度优先遍历访问到，此时的情况、立刻说明从邻接矩阵中无法得到Low，同表28的顶点M情况一致，就是说从H顶点来，而H顶点又来自B，所以K的Low也是5。

这现实意义也很明确：如果把B炸毁了、K就是受害者，当然H也是。

(8) 顶点G，步骤8

还是看G的邻接矩阵：

在这个表中可知：G连接有B、H、I、K，其中B、H、K是深度优先遍历都访问过的，这3个顶点里，以访问B的步骤最小，就是5，于是：

对这个结果还能说什么？意味着B炸掉后又多了个受害者。

(9) 顶点I，步骤9
同样要看邻接矩阵，对于I就是：

这个顶点更不幸，它仅仅与G相连，对于这样的顶点，我们知道访问到G的步骤：8，就是这个顶点的Low，就是：

回忆我们对B-H路径的分析，我们知道此时的G同样是I的关节点，I回到A，必须经过G。如果炸掉G、B这样的顶点，I城市就算没救了。

(10) 顶点D，步骤10

还是先看邻接矩阵，对于D，就是：

可知顶点D与B、E相连，对于D，此时最先抵达的顶点是B，在步骤5，所以有：

这个结果说明B依然是控制着D的生命线。

(11) 顶点E，步骤11

还是看E的邻接矩阵，就是：

可以知道E与D直接相连，于是回边上另一个顶点D、也就是在步骤D，于是：

总结下：设当前顶点为v，下一个顶点是w，其步骤都在Visited[ ]中保存，则：

Low[w]>= Visited[v]

则v必然是关节点，比如此时v是顶点D，而w代表E；或者v是顶点B，而w代表H、K等顶点。

从图5中我们不难发现炸掉D确实能孤立E。

(12) 顶点C，步骤12

还是看邻接矩阵，在顶点C有：

从这个地方可知C与A、B相连，这两个顶点都在第1、5步骤访问过，显然回到A最直接，于是此时Low为1。

由于有这个回边线路，所以看图5我们就知道：炸掉B对这个结点不起任何作用。

最后一个顶点F，看邻接矩阵表可知与A相连，所以表46中自行写入1即可，不再重复计算。

到此，G5图中各个顶点回到A顶点路径上、各个回边和关节点计算完毕，我们回顾这个过程不难发现：A、B、G、D是这个图的关节点。

在关节点上分割图，立刻可以将一个图分割成若干个不相连的子图，这就是图论中对关节点的要求。

2 关节点计算的编程实现

根据上面计算的过程，我们可以总结如下：

关节点的计算首先要获得Low[ ]，如设图为G，则计算过程分两种情况：

（1） 深度遍历过程中，如到当前顶点v，如该顶点邻接顶点没有被深度优先遍历访问过，如前面的M、K这两个顶点，则此时该顶点最早回边顶点值(Low)等同前一节点值，也就是：G->Low[v]=G->Low[w]；

（2） 在遍历过程中，如到当前顶点v，该结点邻接矩阵中可以找到已经遍历过的邻接顶点，则G->Low[v]= min(G->Visited[w]);，如B、J等。

而关节点的判断条件则是：

遍历过程中，如当前顶点为v，邻接顶点为w，如满足：

G->Low[w]>=G->Visited[v]

如v是顶点B、w是顶点H，则v是关节点。

为了满足上述计算要求，我们首先修改Graph的定义，补充内容如下：

struct Graph
{int  **pA;char **pV;int num;int *Visited;int  Count;int *Low;
};

新补充的变量Count是一个计数器，用来计算深度优先遍历的步骤，有这个步骤，我们才能在图5上标注每个结点在深度优先遍历中是在哪一步到达的。而对于Low[ ]，我们知道这里是最小回边的次序号，定义为指针是准备按顶点个数来动态申请内存，由此，我们图的初始化函数就是表27。

同表19的程序实际没什么差别，仅仅是初始化了Low[ ]这个数组。
深度优先遍历的过程，同前面的过程实际完全一致，但此时Visited[ ]中将不是简单的把已经访问过得顶点如v设置成1，而是要标记步骤，标记步骤，就是让深度优先遍历的过程中，每次都要进行：

++G->Count;

然后把这个结果赋值给：

G->Visited[v]=Count;

其中v是遍历到当前结点的下标。

所以能标记步骤的深度优先遍历就是表28，运行下这个程序，你会看到遍历结果，逐个将Visited[ ]中的值打印出来，就有了深度优先遍历到每个顶点的步骤。

struct Graph *GraphInit(int n)
{int i;struct Graph *g;if(n<=0) return NULL;g=(struct Graph *)malloc(sizeof(struct Graph));g->num=n;g->pA=(int  **)malloc(sizeof(int )*n);g->pV=(char **)malloc(sizeof(char)*n); for(i=0;i<n;i++){g->pA[i]=(int  *)malloc(sizeof(int)*n);g->pV[i]=(char *)malloc(sizeof(char)*VLENGTH);}g->Visited=(int *)malloc(sizeof(int )*n); g->Low=(int *)malloc(sizeof(int )*n); for(i=0;i<n;i++){g->Visited[i]=0; g->Low[i]=0;}g->Count=0;return g;
}

表48补充了Low[ ]空间申请、Low[ ]构造初始值的语句，基本是表19程序的补充。

void DFS(struct Graph *G,int v)
{int w;if(G==NULL) return;if(v<0||v>G->num) return;++G->Count; G->Visited[v]=G->Count; printf("%3s",G->pV[v]);for(w=G->num-1;w>=0;w--)if(G->pA[v][w]!=0) {if(G->Visited[w]==0)DFS(G,w);}
}

同原来的DFS()相比，就是加了个计数器并能记录步骤，补充如G4.c的main()，读进文件P719G5.txt的数据来计算，这样，你就获得了深度优先遍历的结果和步骤。注意表49第9行，我们是从邻接矩阵右边向左开始遍历。

有了遍历步骤计数，下面就准备计算Low[ ]，回顾第18页对Low[ ]计算的总结，先设定min是我们要计算的值，并假设在开始、这个值就是当前顶点v被遍历到的步骤，也就是有这样的假设：

min=G->Visited[v]=Count;

注意(1)的结果：如果进入第v个顶点后、如果该顶点邻接顶点没有一个被深度优先遍历访问过，也就是该情况在表49第13行所在位置，于是修改这里为：

if(G->Visited[w]==0)
{DFS(G,w);if(G->Low[w]<min) min=G->Low[w];
}

此种情况下如M、K这两个顶点，该情况下就是说只能原路返回、其Low[v]值是前一个的Low[w]的值。注意这里w是一个循环变量，逐个寻找没找到与v相连的、被深度优先遍历访问过的。

另外一种情况则是说：假如当前结点v的邻接顶点里、其中有被深度优先遍历访问过的，这种情况下，要把访问过的顶点次序依次排列、找到最小的值。这样，就是在上述代码下添加一下内容：

if(G->Visited[w]==0){DFS(G,w);if(G->Low[w]<min) min=G->Low[w];}
else  if(G->Visited[w]<min) min=G->Visited[w];

同样，w作为循环变量，是逐个计算着其中最小的值。如此计算的min、其值就是Low[v]的值，现在，深度优先遍历的代码就是：

void DFS(struct Graph *G,int v)
{int w,min;if(G==NULL) return;if(v<0||v>G->num) return;G->Visited[v]=min=++G->Count; //设置当前顶点步骤，假设min就是当前步骤printf("%3s",G->pV[v]);for(w=G->num-1;w>=0;w--)if(G->pA[v][w]!=0) {if(G->Visited[w]==0)  //没有顶点被访问过{DFS(G,w);if(G->Low[w]<min) min=G->Low[w];}else  if(G->Visited[w]<min) min=G->Visited[w]; //有被访问的顶点}G->Low[v]=min; 
}

在循环体外，第18行，则将min赋值给当前顶点Low[ ]，到此，Low[ ]计算完毕。
如果要显示关节点，根据我们前面分析的结果，则在第14行下加入：

if(G->Low[w]>=G->Visited[v]) printf("%3s\n",G->pV[v]);  

为了让显示明了，表50中第7行关于遍历的结果、就不要显示了，最好注释掉。到这里，有关关节点的计算全部完成。

关节点的含义是：从这里分割一个图，将会得到互相不连的若干子图，此种情况下又涉及到图的另一个问题：有向图的强连通分量的计算，简述就是顶点之间可以两两抵达。以下图有3个连通分量{1,2,3,4},{5},{6}，过去，求连通分量要两次DFS，后来产生了Tarjan算法，从而可以快速获得连通分量。

实际说起来关节点的计算方法、是来自Tarjan算法，是在先能计算连通分量后、才发展到去计算关节点的，有了上面关节点的计算，你能计算图6的连通分量么？这个图的邻接矩阵数据见G10.TXT。