【动态规划】数字三角形

算法提高课课堂笔记。

文章目录

  • 摘花生
    • 题意
    • 思路
    • 代码
  • 最低通行费
    • 题意
    • 思路
    • 代码
  • 方格取数
    • 题意
    • 思路
    • 代码

在这里插入图片描述

摘花生

题目链接

Hello Kitty想摘点花生送给她喜欢的米老鼠。

她来到一片有网格状道路的矩形花生地(如下图),从西北角进去,东南角出来。

地里每个道路的交叉点上都有种着一株花生苗,上面有若干颗花生,经过一株花生苗就能摘走该它上面所有的花生。

Hello Kitty只能向东或向南走,不能向西或向北走。

问Hello Kitty最多能够摘到多少颗花生。

在这里插入图片描述

输入格式

第一行是一个整数T,代表一共有多少组数据。

接下来是T组数据。

每组数据的第一行是两个整数,分别代表花生苗的行数R和列数 C。

每组数据的接下来R行数据,从北向南依次描述每行花生苗的情况。每行数据有C个整数,按从西向东的顺序描述了该行每株花生苗上的花生数目M。

输出格式

对每组输入数据,输出一行,内容为Hello Kitty能摘到得最多的花生颗数。

数据范围

1 ≤ T ≤ 100 , 1≤T≤100, 1T100,
1 ≤ R , C ≤ 100 , 1≤R,C≤100, 1R,C100,
0 ≤ M ≤ 1000 0≤M≤1000 0M1000

输入样例

2
2 2
1 1
3 4
2 3
2 3 4
1 6 5

输出样例

8
16

题意

从左上角走到右下角,求走过的交点最大权值和

思路

f[i][j]表示到达(i,j)点权重的最大值

因为只能向右走或向下走,所以到达(i,j)点的方式一定是:从左边的点向右走一步 / 从上面的点向下走一步

而左边的点权重最大值是f[i][j-1],上面的点权重最大值是f[i-1][j],从中取较大的,加上自身权值即可

代码

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;const int N = 110;int n, m;
int w[N][N];
int f[N][N];int main()
{int tt;cin >> tt;while (tt -- ){cin >> n >> m;for (int i = 1; i <= n; i ++ )for (int j = 1; j <= m; j ++ )cin >> w[i][j];for (int i = 1; i <= n; i ++ )for (int j = 1; j <= m; j ++ )f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i][j - 1]) + w[i][j];cout << f[n][m] << '\n';}
}

最低通行费

原题链接

一个商人穿过一个 N × N N×N N×N 的正方形的网格,去参加一个非常重要的商务活动。

他要从网格的左上角进,右下角出。

每穿越中间 1 个小方格,都要花费 1 个单位时间。

商人必须在 ( 2 N − 1 ) (2N−1) (2N1) 个单位时间穿越出去。

而在经过中间的每个小方格时,都需要缴纳一定的费用。

这个商人期望在规定时间内用最少费用穿越出去。

请问至少需要多少费用?

注意:不能对角穿越各个小方格(即,只能向上下左右四个方向移动且不能离开网格)。

输入格式

第一行是一个整数,表示正方形的宽度 N N N

后面 N N N 行,每行 N N N 个不大于 100 的正整数,为网格上每个小方格的费用。

输出格式

输出一个整数,表示至少需要的费用。

数据范围

1 ≤ N ≤ 100 1≤N≤100 1N100

输入样例

5
1  4  6  8  10
2  5  7  15 17
6  8  9  18 20
10 11 12 19 21
20 23 25 29 33

输出样例

109

样例解释

样例中,最小值为 109 = 1 + 2 + 5 + 7 + 9 + 12 + 19 + 21 + 33 109=1+2+5+7+9+12+19+21+33 109=1+2+5+7+9+12+19+21+33

题意

从左上角走到右下角,不超过2n-1步,求权重之和最小值

思路

和上一题一样,都是左上角走到右下角

步数不超过2n-1,翻译过来就是不走回头路

只是把最大值改成了最小值

代码

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;const int N = 110, inf = 0x3f3f3f3f;int n;
int w[N][N];
int f[N][N];int main()
{cin >> n;for (int i = 1; i <= n; i ++ )for (int j = 1; j <= n; j ++ )cin >> w[i][j];for (int i = 1; i <= n; i ++ )for (int j = 1; j <= n; j ++ )if (i == 1 && j == 1) f[i][j] = w[i][j];else{f[i][j] = -inf;if (i > 1) f[i][j] = min(f[i][j], f[i - 1][j] + w[i][j]);if (j > 1) f[i][j] = min(f[i][j], f[i][j - 1] + w[i][j]);}cout << f[n][n] << '\n';
}

方格取数

题目链接

设有 N×N 的方格图,我们在其中的某些方格中填入正整数,而其它的方格中则放入数字0。如下图所示:
在这里插入图片描述

某人从图中的左上角 A 出发,可以向下行走,也可以向右行走,直到到达右下角的 B 点。

在走过的路上,他可以取走方格中的数(取走后的方格中将变为数字0)。

此人从 A 点到 B 点共走了两次,试找出两条这样的路径,使得取得的数字和为最大。

输入格式

第一行为一个整数 N N N,表示 N × N N×N N×N 的方格图。

接下来的每行有三个整数,第一个为行号数,第二个为列号数,第三个为在该行、该列上所放的数。

行和列编号从 1 开始。

一行“0 0 0”表示结束。

输出格式

输出一个整数,表示两条路径上取得的最大的和。

数据范围

N ≤ 10 N≤10 N10

输入样例

8
2 3 13
2 6 6
3 5 7
4 4 14
5 2 21
5 6 4
6 3 15
7 2 14
0 0 0

输出样例

67

题意

矩阵中有数,从左上角走到右下角,走两次,求权重最大值之和

思路

摘花生问题的扩展版:走一次变成走两次

类比推广:f[i1][j1][i2][j2]表示所有从(1,1)分别走到(i1,j1)(i2,j2)路径的最大值

如何处理同一个格子不被重复选择呢?

因为从左上角走到右下角,走的步数都是一样的,所以i1 + j1 == i2 + j2一定成立

所以我们可以将f[i1][j1][i2][j2]降维为f[k][i1][i2],k就是当前走过的步数

f[k][i1][i2]怎么计算呢?

分为四种情况:

  1. 第一条线路最后一步向下,第二条线路最后一步向下f[k - 1][i1 - 1][i2 - 1]
  2. 第一条线路最后一步向下,第二条线路最后一步向右f[k - 1][i1 - 1][i2]
  3. 第一条线路最后一步向右,第二条线路最后一步向下f[k - 1][i1][i2 - 1]
  4. 第一条线路最后一步向右,第二条线路最后一步向右f[k - 1][i1][i2]

然后判断(i1,j1)和(i2,j2)是否重合,重合只用加 w[i1][j1],不重合需要加w[i1][j1] + w[i2][j2]

取最大值即可

代码

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;const int N = 15;int n;
int w[N][N];
int f[N * 2][N][N];int main()
{cin >> n;int a, b, c;while (cin >> a >> b >> c, a || b || c) w[a][b] = c;for (int k = 2; k <= n * 2; k ++ )for (int i1 = 1; i1 <= n; i1 ++ )for (int i2 = 1; i2 <= n; i2 ++ ){int j1 = k - i1, j2 = k - i2;if (j1 >= 1 && j1 <= n && j2 >= 1 && j2 <= n){int t = w[i1][j1];if (i1 != i2) t += w[i2][j2];int &x = f[k][i1][i2];x = max(x, f[k - 1][i1 - 1][i2 - 1] + t);x = max(x, f[k - 1][i1 - 1][i2] + t);x = max(x, f[k - 1][i1][i2 - 1] + t);x = max(x, f[k - 1][i1][i2] + t);}}cout << f[n + n][n][n] << '\n';
}

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