734. [网络流24题] 方格取数问题 二分图点权最大独立集/最小割/最大流

«问题描述：
在一个有m*n 个方格的棋盘中，每个方格中有一个正整数。现要从方格中取数，使任
意2 个数所在方格没有公共边，且取出的数的总和最大。试设计一个满足要求的取数算法。
«编程任务：
对于给定的方格棋盘，按照取数要求编程找出总和最大的数。
«数据输入：
由文件grid.in提供输入数据。文件第1 行有2 个正整数m和n，分别表示棋盘的行数
和列数。接下来的m行，每行有n个正整数，表示棋盘方格中的数。

【问题分析】

二分图点权最大独立集，转化为最小割模型，从而用最大流解决。

【建模方法】

首先把棋盘黑白染色，使相邻格子颜色不同，所有黑色格子看做二分图X集合中顶点，白色格子看做Y集合顶点，建立附加源S汇T。

1、从S向X集合中每个顶点连接一条容量为格子中数值的有向边。
2、从Y集合中每个顶点向T连接一条容量为格子中数值的有向边。
3、相邻黑白格子Xi,Yj之间从Xi向Yj连接一条容量为无穷大的有向边。

求出网络最大流，要求的结果就是所有格子中数值之和减去最大流量。

【建模分析】

这是一个二分图最大点权独立集问题，就是找出图中一些点，使得这些点之间没有边相连，这些点的权值之和最大。独立集与覆盖集是互补的，求最大点权独立集可以转化为求最小点权覆盖集（最小点权支配集）。最小点权覆盖集问题可以转化为最小割问题解决。结论:最大点权独立集 = 所有点权 - 最小点权覆盖集 = 所有点权 - 最小割集 = 所有点权 - 网络最大流。

对于一个网络，除去冗余点（不存在一条ST路径经过的点），每个顶点都在一个从S到T的路径上。割的性质就是不存在从S到T的路径，简单割可以认为割边关联的非ST节点为割点，而在二分图网络流模型中每个点必关联到一个割点（否则一定还有增广路，当前割不成立），所以一个割集对应了一个覆盖集（支配集）。最小点权覆盖集就是最小简单割，求最小简单割的建模方法就是把XY集合之间的变容量设为无穷大，此时的最小割就是最小简单割了。

/* * Problem: 线性规划与网络流24题 #9 方格取数问题* Author: Guo Jiabao* Time: 2009.6.27 19:06* State: Solved* Memo: 网络最大流 二分图点权最大独立集
*/
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <cstring>
using namespace std;
const int MAXL=50,MAXN=50*50,MAXM=MAXN*8,INF=~0U>>1;
const int dx[]={0,0,-1,1},dy[]={-1,1,0,0};
struct edge
{edge *next,*op;int t,c;
}*V[MAXN],*P[MAXN],ES[MAXM],*Stae[MAXN];
int N,M,S,T,C,EC,Ans,Maxflow,Total;
int Lv[MAXN],Stap[MAXN],Map[MAXL][MAXL];
inline void addedge(int a,int b,int c)
{ES[++EC].next = V[a]; V[a]=ES+EC; V[a]->t=b; V[a]->c=c;ES[++EC].next = V[b]; V[b]=ES+EC; V[b]->t=a; V[b]->c=0;V[a]->op = V[b]; V[b]->op = V[a];
}
void init()
{int i,j,k,c;freopen("grid.in","r",stdin);freopen("grid.out","w",stdout);scanf("%d%d",&M,&N);S=0; T=N*M+1;for (i=1;i<=M;i++){for (j=1;j<=N;j++){scanf("%d",&c);Total += c;Map[i][j] = ++C;if ((i+j)%2==0)addedge(S,C,c);elseaddedge(C,T,c);}}for (i=1;i<=M;i++){for (j=1;j<=N;j++){if ((i+j)%2==0){for (k=0;k<4;k++){int x=i+dx[k],y=j+dy[k];if (x>=1 && x<=M && y>=1 && y<=N)addedge(Map[i][j],Map[x][y],INF);}}}}
}
bool Dinic_Label()
{int head,tail,i,j;Stap[head=tail=0]=S;memset(Lv,-1,sizeof(Lv));Lv[S]=0;while (head<=tail){i=Stap[head++];for (edge *e=V[i];e;e=e->next){j=e->t;if (e->c && Lv[j]==-1){Lv[j] = Lv[i]+1;if (j==T)return true;Stap[++tail] = j;}}}return false;
}
void Dinic_Augment()
{int i,j,delta,Stop;for (i=S;i<=T;i++)P[i] = V[i];Stap[Stop=1]=S;while (Stop){i=Stap[Stop];if (i!=T){for (;P[i];P[i]=P[i]->next)if (P[i]->c && Lv[i] + 1 == Lv[j=P[i]->t])break;if (P[i]){Stap[++Stop] = j;Stae[Stop] = P[i];}elseStop--,Lv[i]=-1;}else{delta = INF;for (i=Stop;i>=2;i--)if (Stae[i]->c < delta)delta = Stae[i]->c;Maxflow += delta;for (i=Stop;i>=2;i--){Stae[i]->c -= delta;Stae[i]->op->c += delta;if (Stae[i]->c==0)Stop = i-1;}}}
}
void Dinic()
{while (Dinic_Label())Dinic_Augment();
}
int main()
{init();Dinic();Ans = Total - Maxflow;printf("%d\n",Ans);return 0;
}