@hdu - 6372@ sacul

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@solution@
@accepted code@
@details@

@description@

定义矩阵 \(A_i\) 是一个大小为 \(p^i*p^i\) 的矩阵，其中 \(p\) 是第 \(c\) 个素数（c 给定），且 \(A_i[x][y] = [C(x, y) \mod p > 0]\)（其中 C(x, y) 是组合数）。
行列从 0 开始计数。

再定义 \(F[i][j]\) 表示 \((A_i)^j\) 中所有元素之和。

求 \(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{k}F[i][j]\)。对 10^9 + 7 取模。

Input
第一行包含一个整数 T，然后接下来是 T 组数据：
每一组数据包含三个整数 c, n, k (0 < n ≤ 10^9, 0 < c, k ≤ 10^5)。意义如上。

Output
对于每组数据，输出一个整数表示答案。

Sample Input
1
1 1 1
Sample Output
3

@solution@

看上去这个题非常不可做，先定义了一个矩阵，然后又要求矩阵幂，然后又要把这个矩阵幂中所有元素求和，然后又要把这些矩阵求和的结果再求和。
但是你只需要找到突破口，剩下的部分就一气呵成（其实一气呵成这个词不能这么用。。。今年中考考了这玩意儿，然后做错了，所以印象深刻。。。）
怎么找突破口？~~你只需要把题目倒过来读~~注意到矩阵的定义涉及到组合数对素数取模，于是就可以牵扯出 lucas 定理。

lucas 定理是什么？其实很简单。对于 \(C(n, m) \mod p\)，我们将 n, m 拆成 p 进制数的形式，即 \(n = n_0 + n_1*p^1 + ..., m = m_0 + m_1*p^1 + ...\)。
于是 lucas 定理告诉我们：\(C(n, m) = C(n_0, m_0)*C(n_1, m_1)*... \mod p\)
证明这个定理也不难，只是与这道题无关所以暂且不提。

很显然 \(C(n, m) \mod p \ge 0\)，所以我们只需要判断 \(C(n, m) \mod p = 0\) 是否成立即可。
又因 \(n_i < p, m_i < p\) （因为是 p 进制嘛），所以 \(C(n_i, m_i)\) 不可能含因子 p，故我们只需要对于每一个 i 判断是否 \(C(n_i, m_i) = 0\)，而前面那个等价于 \(n_i > m_i\)。
所以 \(A_i[x][y]\) 为 1 等价于在 p 进制下 x 的每一位都 ≤ y 的对应位。

现在考虑 \((A_i)^j[x][y]\) 怎么求。
先试着考虑 \((A_i)^2[x][y]\)，可以发现 \((A_i)^2[x][y] = \sum_{z}A_i[x][z]*A_i[z][y]\)，只有当 \(A_i[x][z], A_i[z][y]\) 都为 1 时才会产生贡献。
这有点儿像偏序的关系，因为有些传递性和偏序形成链的感觉在里面。
或者用图论的语言，如果 \(A_i[x][y] = 1\) 则 x 向 y 连边。则 \((A_i)^2[x][y]\) 则有点儿像走两步（中途可以停留在原地）从 x 到达 y 的方案数。
从而简单推广，可以得到 \((A_i)^j[x][y]\) 表示走 j 步从 x 到达 y 的方案数。

那么 F[i][j] 的含义是什么？为了计数的方便我们暂且不用图论的语言描述。
F[i][j] 表示长度为 i 的 p 进制的数字串，选出 j+1 个记为 s0, s1, ... sj，对于第 x 位（1≤x≤n）始终满足 s0[x] ≤ s1[x] ≤ ... ≤ sj[x] 的方案总数。
怎么求 F[i][j] 呢？其实也比较简单。因为每一位都是独立的，所以考虑某一位然后乘法原理乘起来即可。
我们发现如果确定了 s0[x], s1[x], ..., sj[x] 分别是哪些数，它们的顺序始终是一定的（即排序过后的顺序）。所以我们相当于是求 x1 + ... + xp = j + 1 的非负整数解的个数。经典的组合数学问题，答案为 C(j+p, j+1)。
于是 F[i][j] = C(j+p, j+1)^i。

于是 \(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{k}F[i][j] = \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{k}C(j+p, j+1)^i = \sum_{j=1}^{k}\sum_{i=1}^nC(j+p, j+1)^i\)。
枚举 j 然后等比数列求和即可。
注意 C(j+p, j+1) 与 C(j+p+1, j+1+1) 之间实际上是有倍数的关系（你可以把它们拆成阶乘形式以观察到这一点）。于是我们可以直接递推而不用预处理阶乘。

@accepted code@

#include<cstdio>
const int MAXM = 1299709;
const int MOD = int(1E9) + 7;
int pow_mod(int b, int p) {int ret = 1;while( p ) {if( p & 1 ) ret = 1LL*ret*b%MOD;b = 1LL*b*b%MOD;p >>= 1;}return ret;
}
int prm[MAXM + 5], pcnt;
bool nprm[MAXM + 5];
void init() {for(int i=2;i<=MAXM;i++) {if( !nprm[i] )prm[++pcnt] = i;for(int j=1;1LL*i*prm[j]<=MAXM;j++) {nprm[i*prm[j]] = true;if( i % prm[j] == 0 )break;}}
}
int solve(int p, int n, int k) {int ans = 0, tmp = p;for(int j=1;j<=k;j++) {tmp = 1LL*tmp*(j + p)%MOD*pow_mod(j + 1, MOD - 2)%MOD;if( tmp == 1 )ans = (ans + n)%MOD;else ans = (ans + 1LL*(pow_mod(tmp, n + 1) - 1)*pow_mod(tmp - 1, MOD-2)%MOD - 1)%MOD;}return (ans + MOD)%MOD;
}
int main() {init();int T; scanf("%d", &T);for(int i=1;i<=T;i++) {int c, n, k; scanf("%d%d%d", &c, &n, &k);printf("%d\n", solve(prm[c], n, k));}
}