《几何与代数导引》例2.7.3

求$yz$面上二次曲线
\begin{equation}
  \begin{cases}
    \frac{z^2}{c^2}-\frac{y^2}{a^2}=1\\
x=0\\
  \end{cases}
\end{equation}
绕$z$轴旋转所得的二次曲面的方程.


解：对于二次曲面上的任意点$p=(x,y,z)$.都存在相应的二次曲面上的点
$(x_0,y_0,z_0)$,使得
\begin{equation}
  (x-x_0,y-y_0,z-z_0)\cdot (0,0,1)=0
\end{equation}
且
\begin{equation}
  x^2+y^2+z^2=x_0^2+y_0^2+z_0^2
\end{equation}
且
\begin{equation}
  \begin{cases}
    \frac{z_0^2}{c^2}-\frac{y_0^2}{a^2}=1\\
x_0=0\\
y_0\geq 0\\
  \end{cases}
\end{equation}
可得
\begin{equation}
  \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1
\end{equation}