A*算法在最短路问题的应用及其使用举例

1 A*算法

A*算法在人工智能中是一种典型的启发式搜索算法，启发中的估价是用估价函数表示的：

第K最短路-A*启发式搜索

其中f(n)是节点n的估价函数，g(n)表示实际状态空间中从初始节点到n节点的实际代价，h(n)是从n到目标节点最佳路径的估计代价。另外定义h'(n)为n到目标节点最佳路径的实际值。如果h'(n)≥h(n)则如果存在从初始状态走到目标状态的最小代价的解，那么用该估价函数搜索的算法就叫A*算法。

2 第K最短路的算法

我们设源点为s，终点为t，我们设状态f(i)的g(i)为从s走到节点i的实际距离，h(i)为从节点i到t的最短距离，从而满足A*算法的要求，当第K次走到f(n-1)时表示此时的g(n-1)为第K最短路长度。C++代码如下：（）

CDOJ找的一道例题：（模板题）这里面用到SPFA算法（这是中国人创造的，用于求单源最短路的一种算法，关于SFPA时间复杂度的问题，，，不确定性，有时很大，有时很小，emmmm,貌似外国人不太认可，）

Time Limit: 10000 MS Memory Limit: 256 MB

Submit Status

6·1即将来临，游乐园推出了新的主题活动，雨过天晴，帆宝和乐爷童心未泯，准备一探究竟。

兴奋的他们一入园便和孩子们打成一片，不知不觉便走散了。

当他们意识到的时候，只能通过手机来确认对方的位置。

他们当然想尽快找到对方，然而由于孩子们实在是太多，只能选择距离稍远的但是游客稀少的路会合。

帆宝希望找到第kk短的路径，这条路径是他认为的幸运路径。

帆宝迫切地想知道该条路径的长度，而乐于助人的你也一定会帮助她的。

Input

第一行三个整数n,m,kn,m,k，分别表示游乐园的景点数目、景点之间的道路数目以及路径长度从小到大排列时希望选择的序号。

第二行两个整数S,TS,T，分别表示帆宝和乐爷所在景点的编号。

接下来mm行，每行三个整数u,v,wu,v,w，表示编号为uu和vv的景点之间有一条长度为ww的单向通路。

1≤n≤1000,0≤m≤100000,1≤k≤1000,1≤S,T,u,v≤N,1≤w≤1001≤n≤1000,0≤m≤100000,1≤k≤1000,1≤S,T,u,v≤N,1≤w≤100

Output

第一行一个整数xx，表示所选路径的长度

无解输出−1−1

Sample input and output

Sample Input	Sample Output
`3 3 2 1 2 1 2 2 1 3 4 3 2 1`	`5`

题意：给你起点，终点以及要求的第K短路；

题解：首先将有向图以终点T为起点，计算出T到每一个边的最短距离(到第i条边dis[i])，

然后建立一个优先队列，从优先队列中弹出f(p)最小的点p,如果p就是T,则T的次数加一。如果当前次数等于K则当前路即为地K小

的路，，否则，，便利每一个p 所连的边，将其扩张出的到p临接点的信息加入到优先队列中；

AC代码：

  1 #include <bits/stdc++.h>
  2 #define INF 0x3f3f3f3f
  3 using namespace std;
  4 const int AX = 1e5+66;
  5 const int MAXN = 1e3+66;
  6 int n,m,k;
  7 int s,t;
  8 int tot;
  9 int retot;
 10 struct edge{
 11     int to,w;
 12     int next1;
 13 }G[AX],RG[AX];
 14 
 15 struct Node{
 16     int v;
 17     int f,h,g;
 18     bool operator < (const Node &a) const{ return f==a.f? g>a.g : f>a.f; }
 19 };
 20 
 21 
 22 int dis[MAXN];
 23 int head[MAXN];
 24 int rehead[AX];
 25 int vis[MAXN];
 26 
 27 void add_edge(int u,int v,int c)
 28 {
 29     G[tot].to=v;
 30     G[tot].w=c;
 31     G[tot].next1=head[u];
 32     head[u]=tot++;
 33 
 34     RG[retot].to=u;
 35     RG[retot].w=c;
 36     RG[retot].next1=rehead[v];
 37     rehead[v]=retot++;
 38 }
 39 void SPFA()
 40 {
 41     for(int i=1;i<=n;i++) dis[i]=INF;
 42     dis[t]=0;
 43     queue<int> Q;
 44     Q.push(t);
 45     while(!Q.empty())
 46 {
 47         int u=Q.front();
 48         Q.pop();
 49         for(int i=rehead[u];i!=-1;i=RG[i].next1)
 50 {
 51             int v=RG[i].to ;
 52             int w=RG[i].w ;
 53             if(dis[v]>dis[u]+w)
 54 {
 55                 dis[v]=dis[u]+w;
 56                 Q.push(v);
 57             }
 58         }
 59     }   
 60 }
 61 
 62 int Astar(Node a)
 63 {
 64     memset(vis,0,sizeof(vis));
 65     if(dis[s]==INF) return -1;//如果没有与S相连的点 
 66     if(s==t) k++;
 67     priority_queue<Node> Q;
 68     Q.push(a);
 69     while(!Q.empty())
 70 {
 71         Node tmp=Q.top();
 72         Q.pop();
 73         int v=tmp.v;
 74         vis[v]++;
 75         if(vis[t]==k) return tmp.g;
 76         for(int i=head[v];i!=-1;i=G[i].next1)
 77 {
 78             Node p;
 79             p.v=G[i].to;
 80             p.h=dis[G[i].to];
 81             p.g=tmp.g+G[i].w;
 82             p.f=p.g+p.h;
 83             Q.push(p);
 84         }
 85     }
 86     return -1;
 87 }
 88 
 89 int main()
 90 {
 91     tot=0;
 92     retot=0;
 93     memset(head,-1,sizeof head);
 94     memset(rehead,-1,sizeof rehead);
 95     scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
 96     scanf("%d%d",&s,&t);
 97     int x,y,w;
 98     for(int i=0;i<m;i++)
 99 {
100         scanf("%d%d%d",&x,&y,&w);
101         add_edge(x,y,w);
102     }
103     SPFA();
104     Node a;
105     a.v=s;
106     a.g=0;
107     a.h=dis[s];
108     a.f=a.g+a.h;
109     int g=Astar(a);
110     printf("%d\n",g);
111     return 0 ;
112 }