图论部分简单总结

总的感受:

这里大概囊括了一下图论的基础知识，图论是一个比较考验思维的部分。

尤其是后面有关二分图,网络流等的分支,对建模转化的要求还是很高的。

进入正题了：

一、最短路：

这一个部分不想多讲，虽然是很基础的一个部分，但是也很重要。

题目：

1、Telephone Lines。p.s:二分答案+最短路。

2、Roads and Planes。p.s:Topo序+dijkstra。

3、Cow Relays。p.s:Floyd+矩阵乘法。

三连击

二、最小生成树：

基础算法的话也不多讲了。主要是其实有些这种类型的题也很考验思维。。。

题目：

1、picnic planning。 p.s:最小生成树+枚举。

三、树的直径与LCA：

树的直径求法： ① 树形DP。 ②两遍BFS/DFS。

LCA的求法： ①树上倍增。 ②Tarjan+并查集（离线）。

这一类型的题目，一般需要能够发现隐藏在题目中的一些优秀的性质，然后和这些东西挂上联系，然后就很舒服了(有前提的略略略)。

题目：

1、APIO2010巡逻 p.s:分类讨论+树的直径。题解传送门

2、NOIP2007树网的核 p.s:分析性质+树的直径。题解传送门

3、POJ3417Network p.s:问题转化+树上差分。题解传送门

4、SDOI2015寻宝游戏 p.s:dfs序+set（虚树??!!）题解传送门

5、严格次小生成树 p.s:最小生成树+树上倍增。题解传送门

6、NOIP2012疫情控制 p.s:二分答案+贪心+树上倍增。题解传送门

四、基环树

一般用来作为树问题的扩展。。解决基环树问题常用思路：一般先考虑树，然后挂上一条边后产生的影响（和没说一样）。。。

1、IOI2008Island p.s:基环树直径。题解传送门

五、负环与差分约束系统

负环的判定spfa不多聊。

讲下差分约束系统：

这是一种特殊的N元不等式组，它的N个变量a1...aN，满足一些形如下的约束：

    ai-aj<=bkai==ajai-aj>=bk...

然后需要解决的问题就是求一组解使得上述约束全部满足。

可以发现上述的式子和最短路需要满足的三角形不等式：dis[y]<=dis[x]+ver(x,y)十分相似。

那么我们可以考虑到把这些约束看作是两两变量之间的边，相对应的跑最短（长）路即可。

具体一点，

对于形如:ai-aj<=ck的式子，我们可以转换成ai<=aj+ck。

那么就相当于向j往i连了一条长为ck的边，那么对应的跑最短路即可。特殊的：如果存在负环无解

而对于形如:ai-aj>=ck的式子，就转换成ai>=aj+ck,可以发现只需将最短路改成最长路即可。

题目：

咕咕咕。。。

六、Tarjan与图的连通性

无向图桥（割边）判定:

low[y]>dfn[x];

无向图割点判定：

low[y]>=dfn[x];
//需要注意的是需要判断根节点的特殊情况...

无向图边双连通分量（e-DCC）求法：

把所有的桥去掉后得到的所有的连通块都是一个e-DCC。

无向图点双连通分量（v-DCC）求法：

把所有的割点去掉后得到的所有的连通块都是一个v-DCC？？？。

并不是。。。一定不能乱来啊233

事实上可以发现一个割点可能出现在多个v-DCC中。

这个时候就按照割点判断法则来，把用一个栈维护起来的点一个个弹出，他们组成一个v-DCC。同时，需要把割点的标记清空，因为后续它还有可能出现在别的v-DCC中。

e-DCC的缩点比较常规，需要注意的是v-DCC的缩点，新的图应该包括了每一个v-DCC和每一个割点。

有向图强连通分量（SCC）的求法：对于每一个点，若存在：

    low[x]==dfn[x];

那么把栈中维护的元素弹到x为止。

SCC的缩点也比较常规。

有向图的必经点和必经边。

注意：此处不考虑有环的情况。对于有环的情况请自行了解支配树。

既然没有环，可以直接正反两次进行Topo排序。

记录到x路径条数,不妨设从S到x路径条数为f[x]，从x到T路径条数为t[x]。

① 如果对于一条有向边（x,y）。如果满足：

    f[x]*t[y]==f[T];

则此边为必经边。

② 如果对一个点x。如果满足：

    f[x]*t[x]==f[T];

则此点为必经点。

题目：

1、POI2008BLO p.s:割点。题解传送门

2、Knights of the Round Table p.s:点双连通分量+奇环。题解传送门

七、2-SAT问题

对于N个变量，每个变量只有两种取值。然后有M个条件，每个条件是关于两个变量取值的限制。

问能否找到一组合法的赋值方案使得M个条件都满足。

判定是否合法的方法：

首先，对这N个点建一张2N个点的图，i和i+N对应的点i的两个取值。

然后，根据每一个条件连有向边，（一般需要转一下思维）。

最后，tarjan缩强连通分量，如果任意一个SCC内存在i，i+N，那么就不合法。否则合法。

求一组合法赋值方案的方法：

这是个人理解：由于选择一个零出度点，不会对其他点造成影响。

所以：

1、我们可以建反图Topo序，相当于在原图自底向上进行Topo。

每遇到一个没有确定赋值的点，就给它和它对应的点赋值。

2、由于我们发现tarjan缩点得到的每一个SCC的顺序正好是自底向上的，所以我们可以直接赋值。

    val[i]=c[i]>c[opp[i]];//c是强连通分量编号...//i代表xi,0,opp[i]代表xi,1...

八、二分图和网络流

定义：一张没有奇环的无向图是二分图。

二分图判定方法：dfs染色。若存在相邻两个点，他们的颜色相同，那么就存在奇环。

最大匹配求法：① 匈牙利算法 ② 网络流。

完备匹配：一张图具有完备匹配，当且仅当两边的点都为N个，且最大匹配为N。

多重匹配：在最大匹配的基础上，点可以连不超过一特定限制数量的另一侧的点。

最大带权匹配：边有边权，在最大匹配的前提下，使权值和最大。

最大带权匹配求法：① KM算法 ② 费用流。

需要注意的是：KM算法仅仅适用于二分图具有完备匹配，所以一般都是费用流。

二分图最小点覆盖：等于最大匹配数。

简略证明一下：

首先，由于每条匹配边都肯定需要至少取一个端点，所以不可能小于最大匹配数。因此只需要给出一组构造，使得点数等于最大匹配数即可。构造如下：首先，先求出二分图最大匹配。然后，对于每一个左部非匹配点在进行一次寻找增广路的过程，（必然失败），同时进行访问标记。最后，选出左部未访问的节点和右部访问了的节点，这些点构成一组点数为最大匹配数的最小点覆盖。原因：左部的非匹配点显然都被标记了，右部的非匹配点肯定没被标记，一对匹配点要么同时被标记要么同时没被标记。那么：1、匹配边都被覆盖了，因为恰好每条匹配边只取了一个点。2、两个端点都是非匹配点的情况不存在，与最大匹配矛盾。3、左部是非匹配点，右侧是匹配点的非匹配边被覆盖了。4、右部是非匹配点，左侧是匹配点的非匹配边，左部点一定没被访问，所以也被覆盖了。

证毕。

二分图最大独立集：等于总点数-最小覆盖，即也等于总点数-最大匹配。

证略。

网络流初步：

最大流：EK算法，dinic算法（当前弧优化）。

最小割：最小割等于最大流。

费用流：spfa-EK费用流。

题目：

1、Ants p.s:二分图带权最小匹配。题解传送门

2、网络流24题 No p.s...题解传送门