圆上任意角度的点的坐标

如上图，给定圆心（Cx,Cy）,半径为R， 求$\theta$对应的点的坐标？ 此处$\theta$是相对于水平轴的角度。

显然我们可以使用极坐标转换来求：
$$\{\begin{array}{c}px=Cx+Rcos(\theta )\\ py=Cy+Rsin(\theta )\end{array}$$
注意如果以上竖直坐标系向下，此时变为图像的坐标系，即

结果变成：

$$\{\begin{array}{c}px=Cx+Rcos(\theta )\\ py=Cy-Rsin(\theta )\end{array}$$
仅仅是y变了。

椭圆上任意角度的点的坐标

首先我们先来考虑标准椭圆上任意角度的点的坐标，再进行推广。

已知主轴a（即椭圆箭头所指方向对应的轴）,次轴b,求解与水平轴相交$\theta$对应的点的坐标？
$$\{\begin{array}{ccc}\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}& =& 1\\ \frac{y}{x}& =& \tan (\theta )\end{array}$$
将上面的第二式带入第一式，可以求解得到：
$$x^2=\frac{a^2{b}^2}{b^2+a^2{\tan }^2(\theta )}$$
这时我们考虑$\theta$的范围，可以得到：
(一). $0\le \theta <pi/2$ 或者 $\frac{3\ast pi}{2}<\theta \le 2\ast pi$
$$\{\begin{array}{c}x=\frac{ab}{\sqrt{b^2+a^2{\tan }^2(\theta )}}\\ y=\frac{ab\tan (\theta )}{\sqrt{b^2+a^2{\tan }^2(\theta )}}\end{array}$$
(二). $pi/2<\theta <\frac{3\ast pi}{2}$
$$\{\begin{array}{c}x=-\frac{ab}{\sqrt{b^2+a^2{\tan }^2(\theta )}}\\ y=-\frac{ab\tan (\theta )}{\sqrt{b^2+a^2{\tan }^2(\theta )}}\end{array}$$
(三). $\theta =pi/2$
$$\{\begin{array}{c}x=0\\ y=b\end{array}$$
(四). $\theta =\frac{3\ast pi}{2}$
$$\{\begin{array}{c}x=0\\ y=-b\end{array}$$
再考虑一般情况下的椭圆，如下：

如上$\theta \in [0,2\ast pi]$是相对于主轴的角度，$\alpha \in [-pi,pi]$, 不过我们一般仅仅考虑$\alpha \in [0,pi]$,求$\theta$对应的点的坐标？

基本思路就是先转换成标准椭圆，再应用标准椭圆下的结果。

显然我们需要将以上椭圆的中心移到原点，再绕原点旋转$-\alpha$ ,即顺时针旋转$\alpha$，即：
$$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=R(\left(\begin{array}{c}X\\ Y\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}{X}_c\\ Y_c\end{array}\right))$$
其中
$$R=\left(\begin{array}{cc}cos(-\alpha )& -sin(-\alpha )\\ sin(-\alpha )& cos(-\alpha )\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}cos(\alpha )& sin(\alpha )\\ -sin(\alpha )& cos(\alpha )\end{array}\right)$$
因此
$$\left(\begin{array}{c}X\\ Y\end{array}\right)=R^{-1}\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{X}_c\\ Y_c\end{array}\right)$$
其中
$$R^{-1}=R^T=\left(\begin{array}{cc}cos(\alpha )& -sin(\alpha )\\ sin(\alpha )& cos(\alpha )\end{array}\right)(★)$$
这样将前面$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$ 的四个结果应用过来，即得到倾斜的椭圆上的对应角度的点的坐标。

扩展：

1. 如果以上的角度是相对于水平轴的角度，则对应的椭圆上的点的坐标如何求呢？
   答： 其实很简单，只需要：
   $${\theta }^{\prime }=\{\begin{array}{cc}\theta -\alpha +2\ast pi,& \theta <\alpha \\ \theta -\alpha ,& \theta \ge \alpha \end{array}$$
   将${\theta }^{\prime }$替换以上标准椭圆下的$\theta$即可。
2. 如果竖直坐标轴为竖直向下的，即为图像坐标系下的椭圆，那么如何求对应的角度？
   答：
   需要做两方面的改变即可：
   $$\{\begin{array}{c}\alpha \to -\alpha \\ y\to -y\end{array}$$
   第一行改变$★$出的$\alpha$. 第二行改变标准椭圆下的y值的符号。

matlab代码

demo.m
################################
center_x=282;
center_y=263;
phi=pi/6;
R1=141;
R2=62;
%DrawEllipse([center_x,center_y],R1,R2,phi);
axis equal;
hold on;
set(gca,'ydir','reverse')
for angle=linspace(0,3*pi/2,360)[ px,py ] = get_points_ellipse(center_x, center_y,phi,R1,R2, angle );plot(px,py,'ro');hold on;
end
axis([0,500,0,500])

function [ px,py ] = get_points_ellipse(center_x, center_y,phi,R1,R2, angle )
% 求椭圆某个角度上的点的坐标。
%https://math.stackexchange.com/questions/22064/calculating-a-point-that-lies-on-an-ellipse-given-an-angle
%https://blog.csdn.net/xiamentingtao/article/details/54934467%https://stackoverflow.com/questions/17762077/how-to-find-the-point-on-ellipse-given-the-angle
%另一种解法  从极坐标的角度出发。% 椭圆参数  圆心 (center_x.center_y) 角度 phi(-pi,pi)，实际上仅考虑（0，pi） 沿着角度的主轴半径R1，另一主轴对应的半径R2
% 求相对于水平轴x轴上angle（基于0-2pi之间）上对应的点坐标。
% 注意求解的坐标系为：水平向右为x轴,竖直向上为y轴。 如果竖直向下为y轴，则下面的y应该变换成-y， phi变成-phi%先将斜的椭圆转正，并平移到原点。方法就是平移到中心，且旋转-phi角度,再应用标准椭圆求取点。
if(angle<phi)theta = angle-phi+2*pi;  %想对于主轴的角度
elsetheta = angle-phi;
end
% theta为相对于主轴的角度
alpha = -phi;    %与竖直的轴有关，如果是竖直向上，则变为正phi
% 先计算标准椭圆 x^2/R1^2+y^2/R2^2=1  与 直线 y/x=tan(angle)的交点。
assert(angle>=0 && angle<=2*pi);
if(theta==pi/2)x=0;y=R2;
elseif(theta==pi*3/2)x=0;y=-R2;
elseif(theta>pi/2 && theta<pi*3/2)x=-R1*R2/sqrt(R2^2+R1^2*tan(theta)^2);y=-R1*R2*tan(theta)/sqrt(R2^2+R1^2*tan(theta)^2);
elsex=R1*R2/sqrt(R2^2+R1^2*tan(theta)^2);y=R1*R2*tan(theta)/sqrt(R2^2+R1^2*tan(theta)^2); 
endy=-y;    %与竖直的轴有关，如果是竖直向上，则变为正y
% 将以上结果转换回去
px= cos(alpha)*x-sin(alpha)*y+center_x;
py=sin(alpha)*x+cos(alpha)*y+center_y;end

function DrawEllipse(C,a,b,alpha)
% DRAWELLIPSE plots an ellipse
%   DrawEllipse(C,a,b,alpha) plots ellipse with center C, semiaxis a
%   and b and angle alpha between a and the x-axiss=sin(alpha); c=cos(alpha);
Q =[c -s; s c]; theta=[0:0.02:2*pi];
u=diag(C)*ones(2,length(theta)) + Q*[a*cos(theta); b*sin(theta)];
plot(u(1,:),u(2,:));
hold on;
plot(C(1),C(2),'+');

显示结果，起点对应着角度为0。

另一种基于极坐标变换的高效实现【转载】

转载： https://blog.csdn.net/he_zhidan/article/details/81347426
根据“圆心角”弧度（函数会将圆心角转成离心角），获取斜椭圆上的点坐标。ptCenter，椭圆中心；a椭圆长轴长度;b,椭圆短轴长度;radian，点于椭圆长轴夹角的弧度;dChangZhouAngle，长轴弧度

CDoublePoint2d GetPointOnEllipse(const CDoublePoint2d& ptCenter, double a, double b, double radian, double dChangZhouAngle)
{
const double dLiXin = atan2(asin(radian), bcos(radian));//离心角
double x = a*cos(dLiXin)cos(dChangZhouAngle) - bsin(dLiXin)sin(dChangZhouAngle) + ptCenter.x;
double y = acos(dLiXin)sin(dChangZhouAngle) + bsin(dLiXin)*cos(dChangZhouAngle) + ptCenter.y;
return CDoublePoint2d(x, y);
}

问题：

一，为什么不用atan？

答：atan的范围是[-π/2,π/2]，atan2的范围是(-π,π]。前者只能表示两个象限，后者可以表示4个。

二，为什么不atan2(a*tan(radian),b)?

答：这样写，和用atan的效果一样。

参考文献

1. https://math.stackexchange.com/questions/22064/calculating-a-point-that-lies-on-an-ellipse-given-an-angle （主要参考这个）
2. https://stackoverflow.com/questions/17762077/how-to-find-the-point-on-ellipse-given-the-angle （这里有一个从极坐标变换角度新的推导）
3. https://blog.csdn.net/xiamentingtao/article/details/54934467