二元隐函数求二阶偏导_在线计算专题(03):具体、抽象函数的导数、微分与方向导数的计算...

0147d4fcb19fde8aa0aebb328c5b24a5.png

导数与微分是微积分内容的基础,就计算来说一元函数与多元函数的导数的计算思想一致. 不管是一元函数还是多元函数,导数、偏导数的计算都是将函数视为求导变量的一元函数求导数。微分在描述形式略有区别,但是其计算方法还是一样,只不过多元函数需要多计算几个导数而已.本文将以具体实例形式,介绍线上计算具体、抽象函数的导数(偏导数)、微分与多元函数方向导数的计算方法.目录:
  • 1、一元、多元函数导数与导数值计算

  • 2、一元、多元函数高阶导数的计算

  • 3、抽象复合函数的一阶、高阶导数计算

  • 4、全微分的计算

  • 5、方向导数的计算

  • 工具:WolframAlpha计算搜索引擎

  • 位置:http://www.wolframalpha.com,打开网页直接操作,其中windows app也可以通过Windows 10应用商店下载安装!

特别提示:如果使用网页版执行操作,不需要下载、安装任何软件,也不需要点任何链接,直接网页打开的那个搜索文本编辑框(如下图)输入表达式就可以了!系列推文中除特别强调外,显示的结果都能直接看到的!

bb769935659f317826fcb0e6a383fe4b.png

  • 手机:可以直接打开网页操作,或者自行网络搜索下载安装WolframAlpha APP版本操作

  • 执行界面:网页、手机或平板等操作界面基本一致.

1、一元、多元函数一阶导数与导数值的计算

例1  计算以下函数的导数,并求在处的导数值:

输入表达式为

d/dx((x^3)cos(5x^2+e^(2x))-ln(3x^3-2x))

执行后的结果如下图所示.

f4cb7bf45377c744ffc1cfccf2a5cfdd.png

结果不仅显示导数结果,也给出了函数在不同范围内的图形. 输入表达式也可以直接以更自然的语言描述形式输入,比如输入:

derivative of (x^3)cos(5x^2+e^(2x))-ln(3x^3-2x)

执行计算得到的结果一致.

在以上两种输入的表达式后面加上where x=1,比如输入

derivative of (x^3)cos(5x^2+e^(2x))-ln(3x^3-2x) where x=1

执行计算后即得到导数值为

例2  计算以下函数的一阶偏导数和在处的偏导数值:

关于的偏导数计算输入表达式为

d/dx(a sin(x^3+y^2)-(x+y^(1/2))^(1/2))

执行后的结果为

17daf239e3920c93248f6fc8b24e3258.png

结果除了最上面给出导数结果之外,在下面还以不同的形式给出了导数结果描述. 另外给出了二元函数的定义域与关于变量的带皮亚诺余项的麦克劳林公式.

在以上表达式后面加上where (x,y)=(1,1),即可得该点处的偏导数值. 即输入

d/dx(a sin(x^3+y^2)-(x+y^(1/2))^(1/2)) where (x,y)=(1,1)

执行计算后得到导数值为.

关于的偏导数计算输入表达式只要将以上输入表达式中的求导变量改为y就可以了. 即

d/dy(a sin(x^3+y^2)-(x+y^(1/2))^(1/2))

执行后的结果除了导数结果不同外,其余显示内容基本一致. 其中在处的一阶导数值为.

【注】  以上求导变量也可以指定为求导变量,比如输入

d/da(a sin(x^3+y^2)-(x+y^(1/2))^(1/2))

则计算结果为,即对变量求导,并显示导数结果图形.

2、一元、多元函数高阶导数的计算

例1  计算以下函数的50阶导数:

输入表达式为

d^50/dx^50((x^2)cosx)

执行后的结果显示为

3a502d3f1cc688954df1d3a255fb105b.png

例2  求以下函数关于的三阶偏导数与关于的二阶偏导数的混合高阶偏导数:

输入表达式为

d^3/dx^3 d^2/dy^2 ((x^2+y^2)e^(x+y))

执行后显示结果.  结果除了显示偏导数外,还会显示结果曲面图、等值线图,可能的其他表达形式以及方程的根分布情况,级数展开形式,不定积分及诶过与极小值点与极小值等信息,如下图.

29e0384b5080710a40dca4997b0f9daa.png
3、抽象复合函数的一阶、高阶导数计算

将上面具体函数求导的函数表达式换成抽象函数即可.

例1  计算下列函数的一阶、二阶导数:

输入表达式为

d/dx (x^2)f(3x+4cosx), d^2/dx^2 (x^2)f(3x+4cosx)

执行后的结果为

6cb20295769d8dfa1f023b19c9133be6.png

由于除了外还包含其他符号,所以结果以偏导数描述形式其输入形式.

例2  计算以下函数的导数:

输入表达式为

d^2/dx^2 f(x y, x^2-y^2), d/dx d/dy f(x y, x^2-y^2)

执行后的结果为

a5a2e7f20ab1c91041aef31e0874688c.png
4、全微分的计算

由于一元函数的微分就是导数乘以自变量微分

即完全可以直接归结为导数的计算,下面仅仅介绍多元函数全微分的计算方法.

例  计算以下函数的全微分:

直接输入表达式为

derivative of a sin(x^3+y^2)-(x+y^(1/2))^(1/2)

自动识别变量为, ,执行计算后的结果不仅会得到全微分表达式,也会单独列出两个偏导数. 显示结果如下:

56fd7f9838e3ff40cc6f0288b6e0db07.png

其中derivative可以替换为differential. 也可以直接基于Wolfram语言,也即Mathematica中的命令来执行计算,比如输入表达式

Dt(a sin(x^3+y^2)-(x+y^(1/2))^(1/2))

则将表达式中的符号都识别为变量符号,执行计算得到全微分表达式. 如下图.

7e2845cd3a08c1360df2ec318f1382ed.png

只要令结果表达式中不是变量的符号,比如这里a它的微分令为0,即,得到的结果就是关于所有变量的微分表达式.

5、方向导数的计算

例1  计算以下函数指定方向的方向导数:

输入表达式为

derivative of x e^(2y)+cos(x y) in the direction (3,-4)

执行后的结果显示为

197a0f1d27f951da5c389486b3b2bbf3.png

不仅给出了方向导数,也给出了函数的梯度向量.

例2  计算以下函数指定方向的方向导数:

输入表达式为

derivative of f(x,y) in the direction (a,b)

执行后的结果显示为

5ef954407821263ab812dcf3b741ef1c.png

例3  计算以下函数指定方向和点处的方向导数:

输入表达式为

derivative 3x^2+2y^2+z^2 in direction (-2,-2,1) at point (1,2,3)

执行后的结果显示为

091dca796343e75f9d27001b3040ad5c.png

当然以上计算也可以直接依据求偏导数与方向导数计算公式,逐步计算代入得到结果.

微信公众号:考研竞赛数学(ID: xwmath)大学数学公共基础课程分享交流平台!支持咱号请点赞分享!

ac6147186327a4a9d35f0f84642419fb.png

↓↓↓查看更多相关内容

本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处:http://www.mzph.cn/news/258413.shtml

如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请联系多彩编程网进行投诉反馈email:809451989@qq.com,一经查实,立即删除!

相关文章

频域/s域/z域三大变换的性质对比

本文主要介绍三大变换(傅里叶变换、拉普拉斯变换及Z变换)的性质对比及其常用信号变换。

Java系列(1) JavaEE架构

JavaEE是开发分布式应用的工业标准,Weblogic,BES,Tomcat等是比较常见的JavaEE服务器,严格来说Tomcat没有实现全部的JavaEE规范,只能算是Servlet容器。我们从一幅Spec文档上的架构图,粗略了解JavaEE的基本结构。该结构图表达了JavaEE各元素的逻…

微软待办应用更新

微软做了一些更改和优化来改进微软待办。 为了在所有设备上获得最佳体验,需确保移动和桌面微软待办2021 年 12 月 31日之前的版本为 2.49 或更高版本,否则微软待办不再支持跨设备同步,但仍然能脱机使用。 桌面版的微软待办应用下载地址为&…

AD20学习笔记1---元件库的创建

前言: 本文学习视频是B站点击率第一的凡亿教育《Altium Designer 20 19(入门到精通全38集)四层板智能车PCB设计视频教程》,视频地址:Altium Designer 20 19(入门到精通全38集)四层板智能车PCB设…

nodejs环境搭建与express安装配置

一、NPM 1、下载nodeJS 下载地址:https://nodejs.org/en/download/ 因为我的系统是Linux 的,所以下载已经编译好的Linux,nodejs tar包 3、下载完成过后放到/usr/local/下面 4、解压:因为这个包不是gz的包所以解压 正确&#xff1a…

AD20学习笔记2---原理图绘制及编译检查

前言: 本文学习视频是B站点击率第一的凡亿教育《Altium Designer 20 19(入门到精通全38集)四层板智能车PCB设计视频教程》,视频地址:Altium Designer 20 19(入门到精通全38集)四层板智能车PCB设…

Yii框架 phpexcel 导出

一、说明 之前使用的是PHPExcelXML包实现的数据导出,由于导出的文件扩展名为“.xls” 在office2007上带不开,报如下图错误(用 WPS都能打开) 因此,此次采用了 PHPExcel包 不仅支持生成Excel(.xls&#xff09…

AD20学习笔记3---PCB封装库的创建方法及现有封装调用

前言: 本文学习视频是B站点击率第一的凡亿教育《Altium Designer 20 19(入门到精通全38集)四层板智能车PCB设计视频教程》,视频地址:Altium Designer 20 19(入门到精通全38集)四层板智能车PCB设…

Python守护进程和脚本单例运行

2019独角兽企业重金招聘Python工程师标准>>> 一、简介 守护进程最重要的特性是后台运行;它必须与其运行前的环境隔离开来,这些环境包括未关闭的文件描述符、控制终端、会话和进程组、工作目录以及文件创建掩码等;它可以在系统启动…

AD20学习笔记4---网表导入及模块化布局设计

前言: 本文学习视频是B站点击率第一的凡亿教育《Altium Designer 20 19(入门到精通全38集)四层板智能车PCB设计视频教程》,视频地址:Altium Designer 20 19(入门到精通全38集)四层板智能车PCB设…

javascript 模块化

2019独角兽企业重金招聘Python工程师标准>>> 一直好奇像node.js,require.js的模块化是怎么做的,在看了《你不知道的javascript》后,对js的模块化有了一些简单的了解。这本书真的还不错。 书里讲述了js的模块化的原理 和 现代js实现模块化的简…

AD20学习笔记5---PCB设计规则设置及PCB手工布线

前言: 本文学习视频是B站点击率第一的凡亿教育《Altium Designer 20 19(入门到精通全38集)四层板智能车PCB设计视频教程》,视频地址:Altium Designer 20 19(入门到精通全38集)四层板智能车PCB设…

理论物理极础9:相空间流体和吉布斯-刘维尔定理

莱尼喜欢看河,尤其喜欢看漂浮物顺流而下。他猜想漂浮物如何穿过礁石,如何陷入漩涡。但是河流整体,水量,流切变,河的分流和汇聚,这是莱尼所看不到的。 相空间流体 在经典力学里,注视一个特别的初…

nginx没有worker进程_如何优雅地关闭worker进程?

点击上方“武培轩”,选择“设为星标”技术文章第一时间送达!之前我们讲解 Nginx 命令行的时候,可以看到 Nginx 停止有两种方式,分别是 nginx -s quit 和 nginx -s stop,其中 stop 是指立即停止 Nginx,而 qu…

RC电路输出波形的时域与频域分析

RC一阶电路为例进行时域和频域分析,激励Us为方波,以Uc作为输出的波形相当于积分电路的输出曲线,以Ur作为输出的波形相当于微分电路的输出曲线。电容对输入电压具有平滑作用,平滑程度与时间常数有关,衰减程度与带宽设计…

多麦克风做拾音的波束_麦克风阵列是什么 有哪些关键技术?

麦克风阵列是什么 有哪些关键技术?亚马逊Echo和谷歌Home争奇斗艳,除了云端服务,他们在硬件上到底有哪些差异?我们先将Echo和Home两款音箱拆开来看,区别最大的还是麦克风阵列技术。Amazon Echo采用的是环形61麦克风阵列…

如何用AD20打开ddb文件

用AD20直接打开ddb文件会报错,在AD20中使用导入向导才是ddb文件的正确打开方式。 1.用AD20直接打开ddb文件的报错提示 2.使用导入向导打开ddb文件 除了以下两处关键设置的地方,一路next就行。

Codeforces Round #419 (Div. 2)

1.题目A:Karen and Morning 题意: 给出hh:mm格式的时间,问至少经过多少分钟后,该时刻为回文字符串? 思路: 简单模拟,从当前时刻开始,如果hh的回文rh等于mm则停止累计。否则&#xff…

Java NIO 系列教程

Java NIO(New IO)是从Java 1.4版本开始引入的一个新的IO API,可以替代标准的Java IO API。本系列教程将有助于你学习和理解Java NIO。感谢并发编程网的翻译和投递。 (关注ITeye官微,随时随地查看最新开发资讯、技术文章…

Multisim14仿真入门笔记

本文是B站北京邮电大学邓刚老师《Multisim仿真入门》的学习笔记,视频地址:【电路仿真】Multisim仿真入门(北京邮电大学 邓刚主讲)_哔哩哔哩_bilibili。 1.Multisim简介 Multisim14是一种专门用于电路仿真和设计的软件之一&#x…