多普勒效应及多普勒频移的简单推导

多普勒效应及多普勒频移的简单推导

fd≡fR−fT(1)f_d\equiv f_R-f_T \tag{1} fdfRfT(1)
  式中,fdf_dfd表示多普勒频移,fRf_RfR表示目标回波的频率(Hz),fTf_TfT表示发射信号的频率(Hz)。
多普勒频移的表达式为:
fd=2vλ(2)f_d=\frac{2v}{\lambda} \tag{2} fd=λ2v(2)
  式中,λ\lambdaλ为信号波长(m),v为雷达与目标间的相对径向速度(m/s)。这是一个近似的表达式,适用于目标相对于雷达的径向速度远小于电磁波传播速度的情况。实际情况往往如此,因此通常用(2)式来计算目标的径向速度。
  多普勒效应是由奥地利数学家多普勒首先发现和提出的,它反映了信号频率与运动速度之间的关系。值得注意的是这里的速度指相对的径向速度,即运动速度沿二者直线方向的分量。
  下面对多普勒频移的表达式(2)作一个简单的推导。
  雷达发射一段正弦波,起始点为A,终止点为B,在空间延伸的长度为D,频率为f0f_0f0.目标以径向速度vrv_rvr向着雷达飞行(远离雷达飞行时速度为负数,原理相同),如图所示:
在这里插入图片描述
  由于目标向雷达运动,B点接触目标后,到A点接触目标,所需的时间Δt\Delta tΔt为:
Δt=Dc+vr(s)(3)\Delta t=\frac{D}{c+v_r}(s)\tag{3} Δt=c+vrD(s)(3)
  当A点接触目标时,B点相对于目标的距离就是反射后正弦波的长度D′D'D,其计算式为:
D′=(c−vr)⋅Δt=c−vrc+vrD(4)D'=(c-v_r)\cdot\Delta t=\frac{c-v_r}{c+v_r}D\tag{4} D=(cvr)Δt=c+vrcvrD(4)
其中c−vrc-v_rcvr表示BBB点反射后电磁波相对目标的速度。
  反射后的正弦波长度小于反射前的长度,但波的个数是不变的,设反射后的频率为f0′f_0'f0,则有:
f0′f0=DD′=c+vrc−vr=1+2vrc−vr≈1+2vrc(5)\frac{f_0'}{f_0}=\frac{D}{D'}=\frac{c+v_r}{c-v_r}=1+\frac{2v_r}{c-v_r}\approx1+\frac{2v_r}{c}\tag{5} f0f0=DD=cvrc+vr=1+cvr2vr1+c2vr(5)
上式成立的条件是电磁波传播速度远大于目标运动速度,实际情况中通常如此,则多普勒频移fdf_dfd为:
fd=f0′−f0=f0⋅2vrc=2vrλ(6)f_d=f_0'-f_0=f_0\cdot\frac{2v_r}{c}=\frac{2v_r}{\lambda}\tag{6} fd=f0f0=f0c2vr=λ2vr(6)

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