【转】康拓展开

———本文转自:http://www.cnblogs.com/1-2-3/archive/2011/04/25/generate-permutation-part2.html

1、康托展开
  康托展开的公式是 X=an*(n-1)!+an-1*(n-2)!+...+ai*(i-1)!+...+a2*1!+a1*0! 其中,ai为当前未出现的元素中是排在第几个(从0开始)。
  这个公式可能看着让人头大,最好举个例子来说明一下。例如,有一个数组 s = ["A", "B", "C", "D"],它的一个排列 s1 = ["D", "B", "A", "C"],现在要把 s1 映射成 X。n 指的是数组的长度,也就是4,所以
X(s1) = a4*3! + a3*2! + a2*1! + a1*0!
关键问题是 a4、a3、a2 和 a1 等于啥?
a4 = "D" 这个元素在子数组 ["D", "B", "A", "C"] 中是第几大的元素。"A"是第0大的元素,"B"是第1大的元素,"C" 是第2大的元素,"D"是第3大的元素,所以 a4 = 3。
a3 = "B" 这个元素在子数组 ["B", "A", "C"] 中是第几大的元素。"A"是第0大的元素,"B"是第1大的元素,"C" 是第2大的元素,所以 a3 = 1。
a2 = "A" 这个元素在子数组 ["A", "C"] 中是第几大的元素。"A"是第0大的元素,"C"是第1大的元素,所以 a2 = 0。
a1 = "C" 这个元素在子数组 ["C"] 中是第几大的元素。"C" 是第0大的元素,所以 a1 = 0。(因为子数组只有1个元素,所以a1总是为0)
所以,X(s1) = 3*3! + 1*2! + 0*1! + 0*0! = 20。

2、通过康托逆展开生成全排列
  如果已知 s = ["A", "B", "C", "D"],X(s1) = 20,能否推出 s1 = ["D", "B", "A", "C"] 呢?
  因为已知 X(s1) = a4*3! + a3*2! + a2*1! + a1*0! = 20,所以问题变成由 20 能否唯一地映射出一组 a4、a3、a2、a1?如果不考虑 ai 的取值范围,有
3*3! + 1*2! + 0*1! + 0*0! = 20
2*3! + 4*2! + 0*1! + 0*0! = 20
1*3! + 7*2! + 0*1! + 0*0! = 20
0*3! + 10*2! + 0*1! + 0*0! = 20
0*3! + 0*2! + 20*1! + 0*0! = 20
等等。但是满足 0 <= ai <= n-1 的只有第一组。可以使用辗转相除的方法得到 ai,如下图所示:

知道了a4、a3、a2、a1的值,就可以知道s1[0] 是子数组["A", "B", "C", "D"]中第3大的元素 "D",s1[1] 是子数组 ["A", "B", "C"] 中第1大的元素"B",s1[2] 是子数组 ["A", "C"] 中第0大的元素"A",s[3] 是子数组 ["C"] 中第0大的元素"C",所以s1 = ["D", "B", "A", "C"]。
这样我们就能写出一个函数,它可以返回  s 的第 m 个排列。

 

以下是代码(以不超过10位的字符串为例),有所修改:

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 #include<string>
 5 using namespace std;
 6 const int maxn = 10;
 7 char s[maxn+1];
 8 //计算x的阶乘
 9 int Cal(int x)
10 {
11     int ans = 1;
12     for (int i = 1; i <= x; i++) ans *= i;
13     return ans;
14 }
15 //得到字符在字符串其后字符中为第几大
16 int ID(char* c, char*s,int len)
17 {
18     int re = 0;
19     for (char*t = c + 1; t < s + len; t++)
20     {
21         if (*c >= *t)re++;
22     }
23     return re;
24 }
25 //得到字符串康拓展开值(从0开始)
26 int V_CantorExpansion(char *s)
27 {
28     int ret = 0;
29     int len = strlen(s);
30     for (int i = 0; i < len; i++)
31     {
32         ret += ID(s+i,s,len)*Cal(len - i - 1);
33     }
34     return ret;
35 }
36 //求k个字符(升序)第n个全排列
37 string Inv_CantorExpansion(char*s, int n)
38 {
39     int len = strlen(s);
40     string ini = s;
41     string ret;
42     for (int i = len - 1; i>= 0; --i)
43     {
44         int pos = n / Cal(i);
45         ret.push_back(ini[pos]);
46         ini.erase(pos, 1);
47         n %= Cal(i);
48     }
49     return ret;
50 }
51 int main()
52 {
53 
54     while (1)
55     {
56         printf("输入不超过10位的字符串计算康拓展开值:\n");
57         scanf("%s", s);
58         printf("%d\n", V_CantorExpansion(s));
59         printf("输入不超过10位的初始字符串(升序)计算第n个全排列:\n");
60         scanf("%s", s);
61         int n;
62         scanf("%d", &n);
63         printf("%s\n", Inv_CantorExpansion(s, n).c_str());
64     }
65     return 0;
66 }
View Code

 

转载于:https://www.cnblogs.com/ivan-count/articles/7466044.html

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