题目：输入一个正整数，若该数能用几个连续正整数之和表示，则输出所有可能的正整数序列。
一个正整数有可能可以被表示为n(n>=2)个连续正整数之和，如：
15=1+2+3+4+5
15=4+5+6
15=7+8
有些数可以写成连续N（>1）个自然数之和，比如14=2+3+4+5；有些不能，比如8.那么如何判断一个数是否可以写成连续N个自然数之和呢？
一个数M若可以写成以a开头的连续n个自然数之和，则M=a+(a+1)+(a+2)+…+(a+n-1)=n*a+n*(n-1)/2，要求a!=0，否则就是以a+1开头的连续n-1个整数了，也就是要求(M-n*(n-1)/2)%n==0，这样就很容易判断一个数可不可以写成连续n个自然数的形式了，遍历n=2…sqrt(M)*2，还可以输出所有解。
void divide(int num) { int i,j,a; for(i=2; i<=sqrt((float)num)*2; ++i) { if((num-i*(i-1)/2)%i==0) { a=(num-i*(i-1)/2)/i; if(a>0) { for(j=0; j<i; ++j) cout<<a+j<<" "; } cout<<endl; } } }
第二个问题是什么样的数可以写成连续n个自然数之和，什么样的数不能？
通过编程实验发现，除了2^n以外，其余所有数都可以写成该形式。下面说明为什么。
若数M符合条件，则有M=a+(a+1)+(a+2)+…+(a+n-1)=(2*a+n-1)*n/2，而2*a+n-1与n肯定一个为奇数一个为偶数，即M一定要有一个奇数因子，而所有2^n都没有奇数因子，因此肯定不符合条件。
再证明只有M有一个奇数因子，即M!=2^n，M就可以写成连续n个自然数之和。假设M有一个奇数因子a，则M=a*b。
- 若b也是奇数，只要b-(a-1)/2>0，M就可以写成以b-(a-1)/2开头的连续a个自然数；将这条结论里的a和b调换，仍然成立。15=3*5=1+2+3+4+5=4+5+6.
- 若b是偶数，则我们有一个奇数a和一个偶数b。
- 2.1 若b-(a-1)/2>0，M就可以写成以b-(a-1)/2开头的连续a个自然数。24=3*8=7+8+9.
- 2.2 若(a+1)/2-b>0，M就可以写成以(a+1)/2-b开头的连续2*b个自然数。38=19*2=8+9+10+11.
上述两个不等式必然至少有一个成立，所以可以证明，只要M有一个奇数因子，就一定可以写成连续n个自然数之和。
另一个正整数分解的算法：
sum(i,j)为i累加到j的和
令 i=1 j=2
if sum(i,j)>N i++
else if sum(i,j)<N j++
else cout i...j
参考代码：
#include <iostream> using namespace std; int add(int m,int n) { int sum=0; for(int i=m;i<=n;i++) sum+=i; return sum; } void divide(int num) { int i=1,j=2,flag; int sum=0; while(i<=num/2) { sum=add(i,j); while(sum!=num) { if(sum>num) i++; else j++; sum=add(i,j); } for(int k=i;k<=j;k++) cout<<k<<" "; ++i; cout<<endl; } } int main() { int num; cout<<"Please input your number:"<<endl; cin>>num; divide(num); return 0; }
