洛谷1052——过河（DP+状态压缩）

题目描述

在河上有一座独木桥，一只青蛙想沿着独木桥从河的一侧跳到另一侧。在桥上有一些石子，青蛙很讨厌踩在这些石子上。由于桥的长度和青蛙一次跳过的距离都是正整数，我们可以把独木桥上青蛙可能到达的点看成数轴上的一串整点：$0,1,\dots ,L$（其中$L$是桥的长度）。坐标为$0$的点表示桥的起点，坐标为$L$的点表示桥的终点。青蛙从桥的起点开始，不停的向终点方向跳跃。一次跳跃的距离是$S$到$T$之间的任意正整数（包括$S,T$）。当青蛙跳到或跳过坐标为$L$的点时，就算青蛙已经跳出了独木桥。

题目给出独木桥的长度$L$，青蛙跳跃的距离范围$S,T$，桥上石子的位置。你的任务是确定青蛙要想过河，最少需要踩到的石子数。

输入输出格式

输入格式：

第一行有$1$个正整数L(1≤L≤109)L(1 \le L \le 10^9)L(1≤L≤109)，表示独木桥的长度。

第二行有$3$个正整数$S,T,M$，分别表示青蛙一次跳跃的最小距离，最大距离及桥上石子的个数，其中$1\le S\le T\le 10$,$1\le M\le 100$。

第三行有$M$个不同的正整数分别表示这$M$个石子在数轴上的位置（数据保证桥的起点和终点处没有石子）。所有相邻的整数之间用一个空格隔开。

输出格式：

一个整数，表示青蛙过河最少需要踩到的石子数。

输入输出样例

输入样例#1：

10
2 3 5
2 3 5 6 7

输出样例#1：

2

说明

对于30%的数据，$L\le 10000$；

对于全部的数据，L≤109L \le 10^9L≤109。

2005提高组第二题

思路

如果不考虑数据范围的话，可以很快得出递推关系式：$dp[i]=min(dp[i+k]+a[i])(S\le k\le T)$（$a[i]$为$i$点的石头数$dp[i]$表示到达$i$点踩到的最少石头数）

然鹅看了数据范围后，时间和空间都是过不去的。所以需要选择别的方法：

• 当$S=T$的时候，可以很容易得到：所有在$S$倍数位置上的点，都会走到，所以对该种情况进行特判

• 我们可以发现石子在桥上放置的是非常稀疏的，而且当点的位置超过一定范围，点都是可以跳到的。所以可以将石子所在的位置压缩到这个范围里去。将压缩后位置储存起来作为新的石头的位置，按照这个位置进行dp即可

假设每次走$p$或者$p+1$步.我们知道$gcd(p,p+1)=1$.
由扩展欧几里得可知，对于二元一次方程组：
$px+(p+1)y=gcd(p,p+1)$是有整数解的，即可得：$px+(p+1)y=s$是一定有整数解的。
设$px+(p+1)y=s$的解为：x=x0+(p+1)t,y=y0−ptx=x_0+(p+1)t,y=y_0−ptx=x0​+(p+1)t,y=y0​−pt。令$0\le x\le p$(通过增减$t$个$p+1$来实现)，$s>p\times (p+1)-1$，
则有：y=s−pxp+1≥s−p2p+1>p(p+1)−1−pxp+1≥0y=\dfrac {s-px}{p+1}\geq \dfrac {s-p^{2}}{p+1} >\dfrac {p\left( p+1\right) -1-px}{p+1}\geq 0y=p+1s−px​≥p+1s−p2​>p+1p(p+1)−1−px​≥0
即表示，当$s\le p\times (p+1)$时，$px+(p+1)y=s$有两个非负整数解，每次走$p$步或者$p+1$步，$p\times (p+1)$之后的地方均能够到达。
如果两个石子之间的距离大于$p\times (p+1)$，那么就可以直接将他们之间的距离更改为$p\times (p+1)$。
综上，得到压缩路径的方法：若两个石子之间的距离大于$t\times (t-1)$，则将他们的距离更改为$t\times (t-1)$。

因$为t\le 10$，因此我们可以直接将大于$10\times 9$的距离直接化为$90$.

关于路径压缩常数的选择，证明过程详见：https://blog.csdn.net/qq_34940287/article/details/77494073

AC代码

/*************************************************************************> Author: WZY> School: HPU> Created Time:   2019-02-03 15:55:49************************************************************************/
#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define ms(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define INF 0x7f7f7f7f
const int maxn=1e6+10;
const int mod=1e9+7;
using namespace std;
int a[maxn];
int dp[maxn];
int vis[maxn];
int main(int argc, char const *argv[])
{ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);int L;int ans=0;int s,t,m;cin>>L;cin>>s>>t>>m;for(int i=1;i<=m;i++)cin>>a[i];if(s==t){for(int i=1;i<=m;i++){if(a[i]%s==0)ans++;}cout<<ans<<endl;return 0;}sort(a+1,a+1+m);int _=90;int res=a[1]%_;vis[res]=1;// 缩点for(int i=2;i<=m;i++){res+=(a[i]-a[i-1])%_;vis[res]=1;}for(int i=res;i>=0;i--){dp[i]=INF;for(int j=s;j<=t;j++)dp[i]=min(dp[i],dp[i+j]+vis[i]);}cout<<dp[0]<<endl;return 0;
}