BZOJ2216: [Poi2011]Lightning Conductor

第一道此类的题，所以这是一篇假的博客，定理不会证明不理性

也不一定对

我是从这篇博客看的 = = 

很显然是让你求 p[i] = max{a[j] + sqrt(i - j)} - a[i]

就是 max{a[j] + sqrt(|i - j|)}

这是一个 1D/1D 动态规划

 

考虑对于绝对值的情况不好做，那就强行去掉绝对值
之后正反各做一遍

设 sqrt(i - j) 为 w[j, i]

它显然满足区间包含单调性，考虑证明它满足四边形不等式

设 j < j + 1 < i < i + 1

应该是 w[j, i] + w[j + 1, i + 1] 与 w[j + 1, i] + w[j, i + 1] 的关系

由于函数 y = sqrt(x) 的图像是斜率递减的

所以显然有 w[j, i] + w[j + 1, i + 1] > w[j + 1, i] + w[j, i + 1] ①

考虑决策单调性，设对 i 有 a[j + 1] + w[j + 1, i] > a[j] + w[j, i] ②

① + ② 得 a[j + 1] + w[j + 1, i + 1] > a[j] + w[j, i + 1]

所以若对 i 成立对 i + 1 也成立

所以决策点是单调的

 

那么整个序列每个位置对应的最优决策点组成的序列应该是这样:

111133336666....

可以用队列来维护它，队列中存三元组 (l, r, id) 
表示 id 这个决策点能更新的区间为 [l, r]

 

实际操作起来是这样的：

考虑当前点 i 的影响，若它能比之前的一些点优，
它一定是将整个序列从某一个位置开始到 n 的最优决策点

那么它能比之前点优的条件就是对于 n ，当前点比队尾优

然后会有一些决策点被当前点废掉，
条件就是对于一个决策点 p , 若在它能更新的区间左端点 l 处, i 比 p 优，
则这个点没有用了

那么若队列未被弹空，最后剩下的队尾一定是满足在它的 l 处 它比 i 优

r 就不一定了，这里在队尾的 [l, r] 中二分第一个 i 比 id 优的位置，设为 dst

那么队尾的 r 就要改成 dst - 1

并将 i 入队，区间为 [dst, n]

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代码：

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cctype>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;const int MAXN = 500005;struct INFO{int l, r, id;INFO(int L = 0, int R = 0, int ID = 0) {l = L; r = R; id = ID;}
}q[MAXN];
int n, hd, tl;
int a[MAXN], b[MAXN];
double f1[MAXN], f2[MAXN];inline int rd() {register int x = 0;register char c = getchar();while(!isdigit(c)) c = getchar();while(isdigit(c)) {x = x * 10 + (c ^ 48);c = getchar();}return x;
}
inline int hfs(int l, int r, int bck, int cur, int *arr) {register int mid = 0, ans = l;while(l <= r) {mid = ((l + r) >> 1);if((double)arr[bck] + sqrt(mid - bck) < (double)arr[cur] + sqrt(mid - cur)) {ans = mid;r = mid - 1;} else l = mid + 1;}return l;
}
inline void work(int *val, double *f) {hd = 1; tl = 0;q[++tl] = INFO(1, n, 1);for(int i = 2; i <= n; ++i) {++q[hd].l;//printf("i = %d, hd = %d, tl = %d\n", i, hd, tl);while(hd <= tl && q[hd].r < q[hd].l) ++hd;if((tl < hd) || ((double)val[i] + sqrt(n - i) > (double)val[q[tl].id] + sqrt(n - q[tl].id))) {while(hd <= tl && ((double)val[i] + sqrt(q[tl].l - i) > (double)val[q[tl].id] + sqrt(q[tl].l - q[tl].id))) --tl;if(tl < hd) {q[++tl] = INFO(i, n, i);} else {register int dst = hfs(q[tl].l, q[tl].r, q[tl].id, i, val);q[tl].r = dst - 1;q[++tl] = INFO(dst, n, i);}}f[i] = (double)val[q[hd].id] + sqrt(i - q[hd].id) - val[i];}return;
}int main() {n = rd();for(int i = 1; i <= n; ++i) a[i] = b[n - i + 1] = rd();work(a, f1);work(b, f2);for(int i = 1; i <= n; ++i) printf("%d\n", max(0, (int)ceil(max(f1[i], f2[n - i + 1]))));return 0;
}