【BZOJ1797】[AHOI2009]最小割（网络流）
题面
BZOJ
洛谷
题解
最小割的判定问题，这里就当做记结论吧。（源自\(lun\)的课件）
我们先跑一遍最小割，求出残量网络。然后把所有还有流量的边拿出来跑\(Tarjan\)缩\(SCC\)。
如果一条满流边的两个端点不在同一个\(SCC\)中则这条边可能存在于最小割中。
证明：考虑如果减少一条边的容量之后，最小割变小了，证明这条边可能存在于最小割之中。
那么反过来，如果\((u,v)\)在同一个\(SCC\)中，我们把\(u\rightarrow v\)这条边的容量减小\(d\)，那么我们把这个环上的所有边的容量都减少\(d\)，仍然满足流量平衡，意味着最大流即最小割不变。反之最大流即最小割改变，那么这条边可能存在于最小割中。如果一条满流边\(u\rightarrow v\)的端点满足\(u\)和\(S\)在同一个\(SCC\)，\(v\)和\(T\)在同一个\(SCC\)，那么这条边必定在最小割中。
证明：增加一条边的容量，如果最小割增加，意味着这条边必定在最小割中。因为\(u\rightarrow\)是满流的边，所以沿反边\(u\)可达\(S\)，\(T\)可达\(v\) 。如果\(S,u\)在同一个\(SCC\)，\(T,v\)在同一个\(SCC\)中，说明\(S\)到\(u\)上还有增广路，\(v\)到\(T\)上还有增广路，那么\(u\rightarrow v\)的流量增加最小割也会增加，此时\(u\rightarrow v\)必定在最小割中。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
#define ll long long
#define MAX 5000
#define MAXL 60060
#define inf 1000000000
inline int read()
{int x=0;bool t=false;char ch=getchar();while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();if(ch=='-')t=true,ch=getchar();while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();return t?-x:x;
}
struct Line{int v,next,w;}e[MAXL<<1];
int h[MAX],cnt=2;
inline void Add(int u,int v,int w)
{e[cnt]=(Line){v,h[u],w};h[u]=cnt++;e[cnt]=(Line){u,h[v],0};h[v]=cnt++;
}
int n,m,S,T,level[MAX],cur[MAX];
bool bfs()
{memset(level,0,sizeof(level));level[S]=1;queue<int> Q;Q.push(S);while(!Q.empty()){int u=Q.front();Q.pop();for(int i=h[u];i;i=e[i].next)if(e[i].w&&!level[e[i].v])level[e[i].v]=level[u]+1,Q.push(e[i].v);}return level[T];
}
int dfs(int u,int flow)
{if(u==T||!flow)return flow;int ret=0;for(int &i=cur[u];i;i=e[i].next){int v=e[i].v,d;if(e[i].w&&level[v]==level[u]+1){d=dfs(v,min(flow,e[i].w));ret+=d;flow-=d;e[i].w-=d;e[i^1].w+=d;if(!flow)break;}}if(!ret)level[u]=0;return ret;
}
int Dinic()
{int ret=0;while(bfs()){memcpy(cur,h,sizeof(h));ret+=dfs(S,inf);}return ret;
}
int dfn[MAX],low[MAX],G[MAX],gr,tim,St[MAX],top;
bool ins[MAX];
void Tarjan(int u)
{dfn[u]=low[u]=++tim;St[++top]=u;ins[u]=true;for(int i=h[u];i;i=e[i].next){if(!e[i].w)continue;int v=e[i].v;if(!dfn[v])Tarjan(v),low[u]=min(low[u],low[v]);else if(ins[v])low[u]=min(low[u],dfn[v]);}if(low[u]==dfn[u]){++gr;int v;do{v=St[top--];G[v]=gr;ins[v]=false;}while(u!=v);}
}
int main()
{n=read();m=read();S=read();T=read();for(int i=1;i<=m;++i){int u=read(),v=read(),w=read();Add(u,v,w);}Dinic();for(int i=1;i<=n;++i)if(!dfn[i])Tarjan(i);for(int i=2;i<cnt;i+=2)if(e[i].w)puts("0 0");else{if(G[e[i].v]^G[e[i^1].v])printf("1 ");else printf("0 ");if(G[e[i].v]==G[T]&&G[e[i^1].v]==G[S])puts("1");else puts("0");}return 0;
}
