五分钟搞懂后缀数组！

为什么学后缀数组

后缀数组是一个比较强大的处理字符串的算法，是有关字符串的基础算法，所以必须掌握。
学会后缀自动机(SAM)就不用学后缀数组(SA)了？不，虽然SAM看起来更为强大和全面，但是有些SAM解决不了的问题能被SA解决，只掌握SAM是远远不够的。
……

有什么SAM做不了的例子？
比如果求一个串后缀的lcp方面的应用，这是SA可以很方便的用rmq来维护，但是SAM还要求lca，比较麻烦，还有就是字符集比较大的时候SA也有优势。

现在这里放道题，看完这个blog可能就会做了！：
你可想想这道题：你有一个01串S，然后定义一个前缀最右边的位置就是这个前缀的结束位置。现在有q多个询问，每个询问结束位置在l~r中不同前缀的最长公共后缀是多长？
|S|,q≤100000

而下面是我对后缀数组的一些理解

构造后缀数组——SA

先定义一些变量的含义

Str ：需要处理的字符串(长度为Len)
Suffix[i] ：Str下标为i ~ Len的连续子串(即后缀)
Rank[i] : Suffix[i]在所有后缀中的排名
SA[i] : 满足Suffix[SA[1]] < Suffix[SA[2]] …… < Suffix[SA[Len]],即排名为i的后缀为Suffix[SA[i]] (与Rank是互逆运算)
好，来形象的理解一下
这就是Rank和SA
后缀数组指的就是这个SA[i],有了它，我们就可以实现一些很强大的功能(如不相同子串个数、连续重复子串等)。如何快速的到它，便成为了这个算法的关键。而SA和Rank是互逆的，只要求出任意一个，另一个就可以O(Len)得到。

现在比较主流的算法有两种，倍增和DC3，在这里，就主要讲一下稍微慢一些，但比较好实现以及理解的倍增算法(虽说慢，但也是O(Len logLen))的。

进入正题——倍增算法

倍增算法的主要思想：对于一个后缀Suffix[i],如果想直接得到Rank比较困难，但是我们可以对每个字符开始的长度为2k

构造最长公共前缀——Height

同样先是定义一些变量

Heigth[i] : 表示Suffix[SA[i]]和Suffix[SA[i - 1]]的最长公共前缀，也就是排名相邻的两个后缀的最长公共前缀
H[i] : 等于Height[Rank[i]]，也就是后缀Suffix[i]和它前一名的后缀的最长公共前缀
而两个排名不相邻的最长公共前缀定义为排名在它们之间的Height的最小值。
跟上面一样，先形像的理解一下：
这就是Height

高效地得到Height数组

如果一个一个数按SA中的顺序比较的话复杂度是O(N2

代码——Code

 1 #include <cstdio>
 2 #include <cstring>
 3 #include <algorithm>
 4 using namespace std;
 5 const int N=100010;
 6 int n,m,rank[N],sa[N],buc[N],id[N],height[N]; 
 7 char s[N];
 8 /*------------------------------------------------------------
 9 rank[i] 第i个后缀的排名; 
10 sa[i] 排名为i的后缀位置; 
11 buc[i] 计数排序辅助数组;
12 height[i] 排名为i的后缀与排名为(i-1)的后缀的LCP;
13 id[i] 倍增中后半段字符串位置(计数排序中的第二关键字);
14 s为原串
15 ------------------------------------------------------------*/
16 inline void qsort(){
17     //rank第一关键字,id第二关键字。
18     for(int i=0;i<=m;++i) buc[i]=0;
19     for(int i=1;i<=n;++i) ++buc[rank[id[i]]];
20     for(int i=1;i<=m;++i) buc[i]+=buc[i-1];
21     for(int i=n;i>=1;--i) sa[buc[rank[id[i]]]--]=id[i]; 
22     //计数排序,把新的二元组排序
23 }
24 //通过二元组两个下标的比较，确定两个子串是否相同
25 inline int cmp(int x,int y,int l){return id[x]==id[y]&&id[x+l]==id[y+l];}
26 int main() {
27     scanf("%s",s+1);
28     n=strlen(s+1);
29     for(int i=1;i<=n;++i) rank[i]=s[i],id[i]=i;
30     m=127,qsort();//一开始是以单个字符为单位，所以(m = 127)
31     for(int l=1,p=1,i;p<n;l<<=1,m=p){
32         //l 当前一个子串的长度; m 当前离散后的排名种类数
33         //当前的id(第二关键字)可直接由上一次的sa的得到
34         //更新sa值,并用id暂时存下上一轮的rank(用于cmp比较)
35         for(p=0,i=n-l+1;i<=n;++i) id[++p]=i;//长度越界,第二关键字为0
36         for(i=1;i<=n;++i) if (sa[i]>l) id[++p]=sa[i]-l;
37         qsort(),swap(rank,id),rank[sa[1]]=p=1;
38         //用已经完成的SA来更新与它互逆的rank,并离散rank
39         for(i=2;i<=n;++i) rank[sa[i]]=cmp(sa[i],sa[i-1],l)?p:++p;
40     }
41     //LCP  这个知道原理后就比较好理解程序
42     int j,k=0;
43     for(int i=1;i<=n;height[rank[i++]]=k)
44     for(k=k?k-1:k,j=sa[rank[i]-1];s[i+k]==s[j+k];++k);
45     return 0;
46 }

Code

4个比较基础的应用

Q1：一个串中两个串的最大公共前缀是多少？
A1：这不就是Height吗？用rmq预处理，再O(1)查询。

最开始的那道题

先搬下来。。。

你可想想这道题：你有一个01串S，然后定义一个前缀最右边的位置就是这个前缀的结束位置。现在有很多个询问，每q个询问结束位置在l~r中不同前缀的最长公共后缀是多长？
|S|,q≤100000

简单思路：首先可以把字符串反过来就是求后缀的最长公共前缀了，可以用SA求出height数组，然后用rmq预处理之后就是求两个位置间的最小值。然后对于一个区间，显然只有在SA数组中相邻的两个串可以贡献答案。
对于区间询问的问题可以用莫队处理，然后考虑加入一个后缀应该怎么处理，我们可以维护一个按SA数组排序的链表。假设我们先把所有位置的SA全部加入，然后按顺序删除，重新按顺序加入时就可以O(1)完成修改。那么按照这个思路我们可以用固定左端点的并查集，做到只加入，不删除，然后用O(nn−−√+nlogn)

*可能后面的处理方式比较麻烦，如果直接用splay维护区间中的后缀的话可以做到O(nn−−√logn)