贝叶斯球快速检验条件独立

贝叶斯球

定义几个术语,描述贝叶斯球在一个结点上的动作:

  • 通过(pass through):从当前结点的父结点方向过来的球,可以访问当前结点的任意子结点(父->子)。从当前节点的子结点方向过来的球,可以访问当前结点的任意父结点。(子 -> 父)
  • 反弹(bounce back):从当前结点的父结点方向过来的球,可以访问当前结点的任意父结点。(父->父)从当前节点的子结点方向过来的球,可以访问当前结点的任意子结点。(子 -> 子)
  • 截止(block):当前结点阻止贝叶斯球继续运动

贝叶斯球算法(规则):假设在贝叶斯网络中有一个按一定规则运动的球。已知中间结点(或结点集合)Z,如果球不能由结点X出发到达结点Y(或者由Y到X),则称X和Y关于Z独立。

规则:

  • 未知结点:总能使贝叶斯球通过,同时还可以反弹从其子结点方向来的球。(父 -> 子)|(子-> 父/子)
  • 已知结点:反弹从其父结点方向过来的球,截止从其子结点方向过来的球。(父 -> 父)|(子->“截止”)

三种简单的结构,其中灰色球表示已知节点

tail to tail

Tail to tail 模型: A ⊥ B ∣ C A\perp B|C ABC
P ( A , B ∣ C ) = P ( A , B , C ) P ( C ) = P ( C ) P ( A ∣ C ) P ( B ∣ C ) P ( C ) = P ( A ∣ C ) P ( B ∣ C ) \begin{aligned} P(A,B|C)& =\frac{P(A,B,C)}{P(C)} \\ &=\frac{P(C)P(A|C)P(B|C)}{P(C)} \\ &=P(A|C)P(B|C) \end{aligned} P(A,BC)=P(C)P(A,B,C)=P(C)P(C)P(AC)P(BC)=P(AC)P(BC)
head to tail

head to tail 模型: A ⊥ B ∣ C A\perp B|C ABC
P ( A , B ∣ C ) = P ( A , B , C ) P ( C ) = P ( A ) P ( C ∣ A ) P ( B ∣ C ) P ( C ) = P ( A , C ) P ( B ∣ C ) P ( C ) = P ( A ∣ C ) P ( B ∣ C ) \begin{aligned} P(A,B|C)& =\frac{P(A,B,C)}{P(C)} \\ &=\frac{P(A)P(C|A)P(B|C)}{P(C)} \\ &=\frac{P(A,C)P(B|C)}{P(C)}\\ &=P(A|C)P(B|C) \end{aligned} P(A,BC)=P(C)P(A,B,C)=P(C)P(A)P(CA)P(BC)=P(C)P(A,C)P(BC)=P(AC)P(BC)
head to head

head to head 模型: A ⊥ B A\perp B AB A ⊥̸ B ∣ C A \not\perp B|C ABC

例子:A 和 B 是否关于 F 条件独立?

image-20231224111727619

首先贝叶斯球从A出发滚到F处,F为已知节点,反弹来自父节点的球,无法达到B,所以 A ⊥ B ∣ F A\perp B|F ABF

例子:A 和 B 是否关于 C 条件独立?

image-20231224111932037

首先贝叶斯球从A出发可以直接滚到B处,所以 A ⊥̸ B ∣ C A\not\perp B|C ABC

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