2.4三角恒等式

让我们来回顾一下三角函数
$$\begin{gathered} \sin (\theta )=\frac{y}{r},\cos (\theta )=\frac{x}{r},\tan (\theta )=\frac{y}{x} \\ \sec (\theta )=\frac{1}{\cos (\theta )}，\csc (\theta )=\frac{1}{\sin (\theta )},\cot =\frac{1}{\tan (\theta )} \end{gathered}$$
经过变化我们可以得到：
$$\tan (\theta )=\frac{\sin (\theta )}{\cos (\theta )},\cot =\frac{\cos (\theta )}{\sin (\theta )}$$

还记得如何用直角三角形中描述三角函数吗？在直角三角形中$x$和$y$是直角边，$r$是斜边。根据勾股定理（又称毕达哥拉斯定理）我们有$x^2+y^2=r^2$。通常我们假设$r=1$。所以我们有恒等式.
$${\sin }^2(\theta )+{\cos }^2(\theta )=1$$

对上式两边同时除以$\cos (\theta {)}^2$:
$$\frac{{\sin }^2(\theta )}{{\cos }^2(\theta )}+\frac{{\cos }^2(\theta )}{{\cos }^2(\theta )}=\frac{1}{co{s}^2(\theta )}$$
可以得到
$$1+{\tan }^2(\theta )=se{c}^2(\theta )$$
对上式同时除以$sin(\theta {)}^2$可以得到
$$1+co{t}^2(\theta )=cs{c}^2(\theta )$$

我们还有互补角公式。它们描述了在直角三角形中，一个角的正弦、正切和正割值与其互补角的余弦、余切和余割值之间的关系。具体来说：
$$sin(x)=cos(\frac{\pi }{2}-x)、tan(x)=cot(\frac{\pi }{2}-x)、sec(x)=csc(\frac{\pi }{2}-x)$$
同样的我们也有
$$cos(x)=sin(\frac{\pi }{2}-x)、cot(x)=tan(\frac{\pi }{2}-x)、csc(x)=sec(\frac{\pi }{2}-x)$$

最后还有加法公式和二倍角公式。

加法公式我们有：
$$\begin{gathered} \sin (A+B)=\sin (A)\cos (B)+\cos (A)\sin (B) \\ \cos (A+B)=\cos (A)\cos (B)-\sin (A)\sin (B) \end{gathered}$$
同样的对于$A-B$我们有
$$\begin{gathered} \sin (A-B)=\sin (A)\cos (B)-\cos (A)\sin (B) \\ \cos (A-B)=\cos (A)\cos (B)+\sin (A)\sin (B) \end{gathered}$$

令$A=B$,我们有$A+B=2A$。根据加法公式我们有
$$\sin (2A)=2\sin (A)\cos (A)$$
$$\cos (2A)={\cos }^2(A)-{\sin }^2(A)$$
对于第二个公式，我们可以使用勾股定理将它表示为
$$\cos (2A)=2{\cos }^2(A)-1$$
或
$$\cos (2A)=1-2{\sin }^2(A)$$

如有问题，恳请指正