上一篇中讨论了一般性的原则，这里我们具体讨论通过时间反向传播（backpropagation through time，BPTT）的细节。我们将展示目标函数对于所有模型参数的梯度计算方法。
出于简单的目的，我们以一个没有偏置参数的循环神经网络，其在隐藏层中的激活函数使用恒等函数（）。
对于时间步，单个样本的输入及其标签分别为
和
。计算隐状态
和输出
的公式为
其中，权重参数为，
和
。
目标函数为：
。
通常，训练这个模型需要对这些参数分别进行梯度计算：、
和
。
其中：
从中可以看到，这个简单的线性例子已经展现出长序列模型的一些关键问题：
它陷入到了的潜在的非常大的指数幂。在这个指数幂中，小于1的特征值将会消失（出现梯度消失），大于1的特征值将会发散（出现梯度爆炸）。
