（一）bootstrap初识

bootstrap由美国数学家Efron于20世界70年代创建。

bootstrap方法用于样本数较少时的数学统计和参数估计。其数学原理基于格里汶科定理。

$格里汶科（Glivenko）定理：$

对于任意实数x当$n\to \infty$时$F_n(x)$以概率1一致收敛于分布F(x),即：
P { lim ⁡ n → ∞ sup ⁡ − ∞ < x < ∞ ∣ F n ( x ) − F ( x ) ∣ = 0 } = 1 P \{ \lim_{ n \to \infty} \quad \sup_{-\infty < x < \infty} | F_n(x) - F(x)| = 0\} = 1 P{n→∞lim​−∞<x<∞sup​∣Fn​(x)−F(x)∣=0}=1

$该定理的含义是：$

对于任意实数x当n充分大时，经验分布函数的任一观察值$F_n(x)$与总体分布函数F(x)只有微小的差别，在实际上可以当多F(x)来使用。

证明：

对于任意x，$-\infty <x<\infty ,S(x)\sim b(n,F(x))$,从而可知对于任意x有：
$$E(F_n(x))=E(\frac{S(x)}{n})=\frac{1}{n}E(S(x))=\frac{1}{n}E(nF(x))=F(x)$$

在实践中，bootstrap统计数据有效的前提是n足够大，一般情况下，n要大于1000（当然越大越好），因此bootstrap特别适合使用计算机来计算（假设n为$10^8$，如果用人工统计那还不得累死！）。

另外，bootstrap方法还需要依赖于随即数表。已知n的前提下，随即数表的生成方式如下所述：

1. 生成n个$x\in [0\sim \frac{1}{n}]$的随机数。
2. $x=n\times x+1，(若下标为0则不加1，否则加1)$
   上述x就是所求的随机数值。

可参考如下c语言版随机数生成方法：https://editor.csdn.net/md/?articleId=130525806

以下知识来自于浙江大学版的《概率论与数理统计》一书第10章"Bootstrap方法"。

（二）估计量的标准误差的bootstrap估计

暂且为空

（三）估计量的均方误差的bootstrap估计

暂且为空

（三）估计量的偏差的bootstrap估计

暂且为空

偏差的定义：

$$\begin{gathered} 设X是来自于总体F的样本，\hat{\theta }是参数\theta 的估计量。\theta 的估计\hat{\theta }关于\theta 的偏差定义为： \\ b=E(\hat{\theta }-\theta )=E(\hat{\theta })-\theta \end{gathered}$$