【笔记】网络流算法模板

文章目录

- - EK求最大流
  - - 题目描述
    - 输入格式
    - 输出格式
    - 数据范围
  - 算法步骤
  - - 算法时间复杂度 $O(nm^2)$
  - `AC Code`
  - Dinic/ISAP求最大流
  - - 题目描述
    - 输入格式
    - 输出格式
    - 数据范围
  - 算法步骤
  - - 算法时间复杂度 $O(n^2m)$
  - `AC Code`
  - Dinic/ISAP求最小割
  - EK求费用流
  - - 题目描述
    - 输入格式
    - 输出格式
    - 数据范围
  - 算法步骤
  - - 算法时间复杂度 $O(nm^2)$
  - `AC Code`

EK求最大流

题目描述

给定一个包含 $n$ 个点 $m$ 条边的有向图，并给定每条边的容量，边的容量非负。

图中可能存在重边和自环。求从点 $S$ 到点 $T$ 的最大流。

输入格式

第一行包含四个整数 $n, m, S, T$ 。

接下来 $m$ 行，每行三个整数 $u, v, c$ ，表示从点 $u$ 到点 $v$ 存在一条有向边，容量为 $c$ 。

点的编号从 $1$ 到 $n$ 。

输出格式

输出点 $S$ 到点 $T$ 的最大流。

如果从点 $S$ 无法到达点 $T$ 则输出 $0$ 。

数据范围

$\le n \le 1000$ ,
$\le m \le 10000$ ,
$\le c \le 10000$ ,
$\neq T$

算法步骤

不断 BFS，用 while 循环不断找残量网络中的增广路径。

每次

找到增广路径
更新残量网络
累加最大流量

跳出循环即得出最大流。

算法时间复杂度 $O(nm^2)$

`AC Code`

$\text{C}++$

#include <iostream>
#include <cstring>using namespace std;const int N = 1010, M = 20010;
const int INF = 1e9;int n, m, S, T;
int h[N], e[M], f[M], ne[M], idx;
int q[N], d[N], pre[N];
bool st[N];inline void add(int a, int b, int c)
{e[idx] = b, f[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;e[idx] = a, f[idx] = 0, ne[idx] = h[b], h[b] = idx ++ ;
}bool bfs()
{memset(st, false, sizeof st);int hh = 0, tt = 0;q[0] = S, d[S] = INF, st[S] = true;while (hh <= tt){int t = q[hh ++ ];for (int i = h[t]; ~i; i = ne[i]){int j = e[i];if (!st[j] && f[i]){st[j] = true;d[j] = min(d[t], f[i]);pre[j] = i;if (j == T) return true;q[ ++ tt] = j;}}}return false;
}int EK()
{int flow = 0;while (bfs()){flow += d[T];for (int i = T; i != S; i = e[pre[i] ^ 1])f[pre[i]] -= d[T], f[pre[i] ^ 1] += d[T]; }return flow;
}int main()
{int a, b, c;memset(h, -1, sizeof h);scanf("%d%d%d%d", &n, &m, &S, &T);while (m -- ){scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);add(a, b, c);}printf("%d\n", EK());return 0;
}

Dinic/ISAP求最大流

题目描述

给定一个包含 $n$ 个点 $m$ 条边的有向图，并给定每条边的容量，边的容量非负。

图中可能存在重边和自环。求从点 $S$ 到点 $T$ 的最大流。

输入格式

第一行包含四个整数 $n, m, S, T$ 。

接下来 $m$ 行，每行三个整数 $u, v, c$ ，表示从点 $u$ 到点 $v$ 存在一条有向边，容量为 $c$ 。

点的编号从 $1$ 到 $n$ 。

输出格式

输出点 $S$ 到点 $T$ 的最大流。

如果从点 $S$ 无法到达点 $T$ 则输出 $0$ 。

数据范围

$\le n \le 10000$ ,
$\le m \le 100000$ ,
$\le c \le 10000$ ,
$\neq T$

算法步骤

Dinic 算法其实是 EK 算法的一个暴力的优化，EK 算法每次只能搜索一条增广路径，而 Dinic 算法每次都用 DFS 的形式尽可能多的搜索增广路径。

而图中可能存在环，为了保证 DFS 的过程中不会造成死循环，这里可以使用分层图，这样每次都是一层一层往下搜索，就不会出现死循环。

BFS 建立分层图
DFS 找出所有能增广的路径
累加最大流量

注意： Dinic 算法对于优化非常敏感，如果优化的不好就可能直接 TLE

算法时间复杂度 $O(n^2m)$

`AC Code`

$\text{C}++$

#include <iostream>
#include <cstring>using namespace std;const int N = 10010, M = 200010;
const int INF = 1e9;int n, m, S, T;
int h[N], e[M], ne[M], f[M], idx;
int d[N], q[N], cur[N];
bool st[N];inline void add(int a, int b, int c)
{e[idx] = b, f[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;e[idx] = a, f[idx] = 0, ne[idx] = h[b], h[b] = idx ++ ;
}bool bfs()
{memset(d, -1, sizeof d);int hh = 0, tt = 0;q[0] = S, d[S] = 0, cur[S] = h[S];while (hh <= tt){int t = q[hh ++ ];for (int i = h[t]; ~i; i = ne[i]){int j = e[i];if (d[j] == -1 && f[i]){d[j] = d[t] + 1;cur[j] = h[j];if (j == T) return true;q[ ++ tt] = j;}}}return false;
}int find(int u, int lim)
{if (u == T) return lim;int flow = 0;for (int i = cur[u]; ~i && flow < lim; cur[u] = i, i = ne[i]){int j = e[i];if (d[j] == d[u] + 1 && f[i]){int t = find(j, min(f[i], lim - flow));if (!t) d[j] = -1;f[i] -= t, f[i ^ 1] += t, flow += t;}}return flow;
}int dinic()
{int r = 0, flow = 0;while (bfs()) while ((flow = find(S, INF))) r += flow;return r;
}int main()
{int a, b, c;memset(h, -1, sizeof h);scanf("%d%d%d%d", &n, &m, &S, &T);while (m -- ){scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);add(a, b, c);}printf("%d\n", dinic());return 0;
}

Dinic/ISAP求最小割

根据 最大流最小割定理，我们知道，最大流与最小割在数值上相等。证明过程见这里。

因此跑最大流的 Dinic 板子即可，代码没有任何区别，就不再放了。

EK求费用流

题目描述

给定一个包含 $n$ 个点 $m$ 条边的有向图，并给定每条边的容量和费用，边的容量非负。

图中可能存在重边和自环，保证费用不会存在负环。

求从 $S$ 到 $T$ 的最大流，以及在流量最大时的最小费用。

输入格式

第一行包含四个整数 $n, m, S, T$ 。

接下来 $m$ 行，每行三个整数 $u, v, c, w$ ，表示从点 $u$ 到点 $v$ 存在一条有向边，容量为 $c$ ，费用为 $w$ 。

点的编号从 $1$ 到 $n$ 。

输出格式

输出点 $S$ 到点 $T$ 的最大流和流量最大时的最小费用。

如果从点 $S$ 无法到达点 $T$ 则输出 0 0。

数据范围

$2 \leq n \leq 5000$ ,
$1 \leq m \leq 50000$ ,
$0 \leq c \leq 100$ ,
$\le w \le 100$
$S \neq = T$

算法步骤

费用流算法本质上是 EK 算法，只不过将找增广路的 BFS 算法替换为了 SPFA 算法。

找到增广路径
更新残量网络
累加最大流量

算法时间复杂度 $O(nm^2)$

`AC Code`

$\text{C}++$

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>using namespace std;const int N = 5010, M = 100010, INF = 1e8;int n, m, S, T;
int h[N], e[M], f[M], w[M], ne[M], idx;
int q[N], d[N], pre[N], incf[N];
bool st[N];void add(int a, int b, int c, int d)
{e[idx] = b, f[idx] = c, w[idx] = d, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;e[idx] = a, f[idx] = 0, w[idx] = -d, ne[idx] = h[b], h[b] = idx ++ ;
}bool spfa()
{int hh = 0, tt = 1;memset(d, 0x3f, sizeof d);memset(incf, 0, sizeof incf);q[0] = S, d[S] = 0, incf[S] = INF;while (hh != tt){int t = q[hh ++ ];if (hh == N) hh = 0;st[t] = false;for (int i = h[t]; ~i; i = ne[i]){int ver = e[i];if (f[i] && d[ver] > d[t] + w[i]){d[ver] = d[t] + w[i];pre[ver] = i;incf[ver] = min(f[i], incf[t]);if (!st[ver]){q[tt ++ ] = ver;if (tt == N) tt = 0;st[ver] = true;}}}}return incf[T] > 0;
}void EK(int& flow, int& cost)
{flow = cost = 0;while (spfa()){int t = incf[T];flow += t, cost += t * d[T];for (int i = T; i != S; i = e[pre[i] ^ 1]){f[pre[i]] -= t;f[pre[i] ^ 1] += t;}}
}int main()
{scanf("%d%d%d%d", &n, &m, &S, &T);memset(h, -1, sizeof h);while (m -- ){int a, b, c, d;scanf("%d%d%d%d", &a, &b, &c, &d);add(a, b, c, d);}int flow, cost;EK(flow, cost);printf("%d %d\n", flow, cost);return 0;
}