MATLAB - 最优控制(Optimal Control)

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前言 - 什么是最优控制?

        最优控制是动态系统满足设计目标的条件。最优控制是通过执行以下定义的最优性标准的控制律来实现的。一些广泛使用的最优控制方法有:

  • 线性二次调节器 (LQR)/线性二次高斯 (LQG) 控制

  • 模型预测控制

  • 强化学习

  • 极值搜索控制

  • H 无穷综合


一、线性二次调节器 (LQR)/线性二次高斯 (LQG) 控制

线性二次调节器 (LQR) 是一种全状态反馈最优控制律,$u=-K x$,通过最小化二次代价函数来调节控制系统。

图 1. 线性二次调节器控制器的示意图。

此代价函数取决于系统状态 (x)(�) 和控制输入 (u)(�),如下所示。 

$J(u)=\int_{0}^{\infty}(x^{T}Q x+u^{T}R u+2x^{T}N u)d t$

基于性能设定,为此最优控制律设置加权因子 Q、R 和 N,以定义系统状态调节和控制作动成本之间的适当平衡。

在许多最优控制问题中,并非所有状态可测量。在这些情况下,必须使用观测器来估计状态。卡尔曼滤波器就是使用频率较高的一个观测器。卡尔曼滤波器结合 LQR 控制器构成一个线性二次高斯 (LQG) 控制器。

图 2. 线性二次高斯控制器的示意图。

 

二、模型预测控制

模型预测控制 (MPC) 用于最小化多输入多输出 (MIMO) 系统中的代价函数。该系统受限于输入和输出约束。这种最优控制方法使用系统模型来预测被控对象输出。控制器使用预测的被控对象输出求解在线优化问题,即二次规划,以确定可将预测输出驱动到参考值的可操作变量的最佳调整。MPC 变体包括自适应、增益调度和非线性 MPC 控制器。所使用的 MPC 控制器的类型取决于预测模型(线性/非线性)、约束(线性/非线性)、代价函数(二次/非二次)、吞吐量和采样时间。

图 3. 模型预测控制的示意图。

微处理器技术和高效算法的进步,使得这种最优控制方法在诸如自动驾驶、航空航天应用中的最佳地形跟踪等应用中得到了更广泛的采用。

三、强化学习

强化学习是一种机器学习方法,其中计算机智能体通过与动态环境的反复试错交互来学习最佳行为。智能体使用来自环境的观测值来执行一系列动作,目的是最大化智能体的任务累积奖励度量。这种学习不需要人工干预,也不需要显式编程。 

图 4. 强化学习的示意图。

这种最优控制方法可用于决策问题,以及用作使用传统控制方法的应用的非线性控制备选方案。这些应用包括自动驾驶、机器人、调度问题和系统的动态标定等。 

四、极值搜索控制

极值搜索是一种最优控制方法,它使用无模型实时优化自动调整控制系统参数以最大化目标函数。此方法不需要系统模型,可用于参数和扰动随时间缓慢变化的系统。这种最优控制方法适用于稳定的系统。这些系统可以容忍控制中的噪声,并且只需调整少量的控制系统参数。

极值搜索控制的应用包括自适应巡航控制、太阳能电池板的最大功率点追踪 (MPPT) 和防抱死制动系统 (ABS)。

 

图 5. 极值搜索控制的示意图。

五、H 无穷综合

H 无穷综合是一种最优控制工具/方法,用于设计单输入单输出 (SISO) 或 MIMO 反馈控制器,以实现稳健的性能和稳定性。与使用波特或 PID 调节的回路成形等经典控制方法相比,H 无穷更适合需要通道间交叉耦合的多变量控制系统。

对于 H 无穷,控制目标是根据归一化闭环增益来制定的。H 无穷综合会自动计算通过最小化该增益来优化性能的控制器。这很有用,因为许多控制目标可以用最小化增益来表示。其中包括抗扰、对噪声的灵敏度、跟踪、回路成形、回路解耦和稳健稳定性等目标。H 无穷综合的变体可用于处理固定结构或全阶控制器。


下表对上述最优控制方法进行了比较:

最优控制方法优化是否在运行时进行?(是/否)此最优控制过程的优化过程是如何工作的?它是否能处理硬约束?*(可以/不能)它是否使用基于模型的方法?(是/否)吞吐量如何?(高/低)
LQR/LQG使用适用于已知线性时不变系统的闭式解不能
隐式 MPC(是)使用预测模型,求解在线优化问题以计算最优控制动作可以低(非线性 MPC),高(线性 MPC)
显式 MPC(否)用于计算最优控制动作的优化问题的解采用离线计算可以
强化学习是**学习任务的最优行为以最大化奖励度量不能***取决于训练算法低(使用训练)、中高(在推断过程中)
极值搜索控制扰动和调整控制参数以最大化目标函数不能
H 无穷综合自动计算控制器,使其最小化归一化闭环增益不能

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