一、题目

现在你总共有numCourses门课需要选，记为0到numCourses - 1。给你一个数组prerequisites，其中prerequisites[i] = [ai, bi]，表示在选修课程ai前 必须 先选修bi。

例如，想要学习课程0，你需要先完成课程1，我们用一个匹配来表示：[0,1]。

返回你为了学完所有课程所安排的学习顺序。可能会有多个正确的顺序，你只要返回 任意一种 就可以了。如果不可能完成所有课程，返回 一个空数组 。

示例 1：
输入：numCourses = 2, prerequisites = [[1,0]]
输出：[0,1]
解释：总共有2门课程。要学习课程1，你需要先完成课程0。因此，正确的课程顺序为[0,1]。

示例 2：
输入：numCourses = 4, prerequisites = [[1,0],[2,0],[3,1],[3,2]]
输出：[0,2,1,3]
解释：总共有4门课程。要学习课程3，你应该先完成课程1和课程2。并且课程1和课程2都应该排在课程0之后。
因此，一个正确的课程顺序是[0,1,2,3]。另一个正确的排序是[0,2,1,3]。

示例 3：

输入：numCourses = 1, prerequisites = []
输出：[0]

1 <= numCourses <= 2000
0 <= prerequisites.length <= numCourses * (numCourses - 1)
prerequisites[i].length == 2
0 <= ai, bi < numCourses
ai != bi
所有[ai, bi]互不相同

二、代码

给定一个包含n个节点的有向图G，我们给出它的节点编号的一种排列，如果满足：

对于图G中的任意一条有向边(u,v)，u在排列中都出现在v的前面。

那么称该排列是图G的「拓扑排序」。根据上述的定义，我们可以得出两个结论：
1、如果图G中存在环（即图G不是「有向无环图」），那么图G不存在拓扑排序。这是因为假设图中存在环x1,x2,⋯ ,xn,x1​，那么x1在排列中必须出现在xn的前面，但xn同时也必须出现在x1的前面，因此不存在一个满足要求的排列，也就不存在拓扑排序；
2、如果图G是有向无环图，那么它的拓扑排序可能不止一种。举一个最极端的例子，如果图G值包含n个节点却没有任何边，那么任意一种编号的排列都可以作为拓扑排序。

有了上述的简单分析，我们就可以将本题建模成一个求拓扑排序的问题了：
1、我们将每一门课看成一个节点；
2、如果想要学习课程A之前必须完成课程B，那么我们从B到A连接一条有向边。这样以来，在拓扑排序中，B一定出现在A的前面。

求出该图的拓扑排序，就可以得到一种符合要求的课程学习顺序。下面介绍两种求解拓扑排序的方法。

【1】深度优先搜索： 我们可以将深度优先搜索的流程与拓扑排序的求解联系起来，用一个栈来存储所有已经搜索完成的节点。

对于一个节点u，如果它的所有相邻节点都已经搜索完成，那么在搜索回溯到u的时候，u本身也会变成一个已经搜索完成的节点。这里的「相邻节点」指的是从u出发通过一条有向边可以到达的所有节点。

假设我们当前搜索到了节点u，如果它的所有相邻节点都已经搜索完成，那么这些节点都已经在栈中了，此时我们就可以把u入栈。可以发现，如果我们从栈顶往栈底的顺序看，由于u处于栈顶的位置，那么u出现在所有u的相邻节点的前面。因此对于u这个节点而言，它是满足拓扑排序的要求的。

这样以来，我们对图进行一遍深度优先搜索。当每个节点进行回溯的时候，我们把该节点放入栈中。最终从栈顶到栈底的序列就是一种拓扑排序。

算法： 对于图中的任意一个节点，它在搜索的过程中有三种状态，即：
1、「未搜索」：我们还没有搜索到这个节点；
2、「搜索中」：我们搜索过这个节点，但还没有回溯到该节点，即该节点还没有入栈，还有相邻的节点没有搜索完成）；
3、「已完成」：我们搜索过并且回溯过这个节点，即该节点已经入栈，并且所有该节点的相邻节点都出现在栈的更底部的位置，满足拓扑排序的要求。

通过上述的三种状态，我们就可以给出使用深度优先搜索得到拓扑排序的算法流程，在每一轮的搜索搜索开始时，我们任取一个「未搜索」的节点开始进行深度优先搜索。
1、我们将当前搜索的节点u标记为「搜索中」，遍历该节点的每一个相邻节点v：
  ■ 如果v为「未搜索」，那么我们开始搜索v，待搜索完成回溯到u；
  ■ 如果v为「搜索中」，那么我们就找到了图中的一个环，因此是不存在拓扑排序的；
  ■ 如果v为「已完成」，那么说明v已经在栈中了，而u还不在栈中，因此u无论何时入栈都不会影响到(u,v)之前的拓扑关系，以及不用进行任何操作。

2、当u的所有相邻节点都为「已完成」时，我们将u放入栈中，并将其标记为「已完成」。

在整个深度优先搜索的过程结束后，如果我们没有找到图中的环，那么栈中存储这所有的n个节点，从栈顶到栈底的顺序即为一种拓扑排序。

class Solution {// 存储有向图List<List<Integer>> edges;// 标记每个节点的状态：0=未搜索，1=搜索中，2=已完成int[] visited;// 用数组来模拟栈，下标 n-1 为栈底，0 为栈顶int[] result;// 判断有向图中是否有环boolean valid = true;// 栈下标int index;public int[] findOrder(int numCourses, int[][] prerequisites) {edges = new ArrayList<List<Integer>>();for (int i = 0; i < numCourses; ++i) {edges.add(new ArrayList<Integer>());}visited = new int[numCourses];result = new int[numCourses];index = numCourses - 1;for (int[] info : prerequisites) {edges.get(info[1]).add(info[0]);}// 每次挑选一个「未搜索」的节点，开始进行深度优先搜索for (int i = 0; i < numCourses && valid; ++i) {if (visited[i] == 0) {dfs(i);}}if (!valid) {return new int[0];}// 如果没有环，那么就有拓扑排序return result;}public void dfs(int u) {// 将节点标记为「搜索中」visited[u] = 1;// 搜索其相邻节点// 只要发现有环，立刻停止搜索for (int v: edges.get(u)) {// 如果「未搜索」那么搜索相邻节点if (visited[v] == 0) {dfs(v);if (!valid) {return;}}// 如果「搜索中」说明找到了环else if (visited[v] == 1) {valid = false;return;}}// 将节点标记为「已完成」visited[u] = 2;// 将节点入栈result[index--] = u;}
}

时间复杂度: O(n+m)，其中n为课程数，m为先修课程的要求数。这其实就是对图进行广度优先搜索的时间复杂度。
空间复杂度: O(n+m)。题目中是以列表形式给出的先修课程关系，为了对图进行深度优先搜索，我们需要存储成邻接表的形式，空间复杂度为O(n+m)。在深度优先搜索的过程中，我们需要最多O(n)的栈空间（递归）进行深度优先搜索，并且还需要若干个O(n)的空间存储节点状态、最终答案等。

【2】广度优先搜索： 方法一的深度优先搜索是一种「逆向思维」：最先被放入栈中的节点是在拓扑排序中最后面的节点。我们也可以使用正向思维，顺序地生成拓扑排序，这种方法也更加直观。

我们考虑拓扑排序中最前面的节点，该节点一定不会有任何入边，也就是它没有任何的先修课程要求。当我们将一个节点加入答案中后，我们就可以移除它的所有出边，代表着它的相邻节点少了一门先修课程的要求。如果某个相邻节点变成了「没有任何入边的节点」，那么就代表着这门课可以开始学习了。按照这样的流程，我们不断地将没有入边的节点加入答案，直到答案中包含所有的节点（得到了一种拓扑排序）或者不存在没有入边的节点（图中包含环）。

上面的想法类似于广度优先搜索，因此我们可以将广度优先搜索的流程与拓扑排序的求解联系起来。

算法： 我们使用一个队列来进行广度优先搜索。开始时，所有入度为 000 的节点都被放入队列中，它们就是可以作为拓扑排序最前面的节点，并且它们之间的相对顺序是无关紧要的。

在广度优先搜索的每一步中，我们取出队首的节点u：
1、我们将u放入答案中；
2、我们移除u的所有出边，也就是将u的所有相邻节点的入度减少1。如果某个相邻节点v的入度变为0，那么我们就将v放入队列中。

在广度优先搜索的过程结束后。如果答案中包含了这n个节点，那么我们就找到了一种拓扑排序，否则说明图中存在环，也就不存在拓扑排序了。

class Solution {// 存储有向图List<List<Integer>> edges;// 存储每个节点的入度int[] indeg;// 存储答案int[] result;// 答案下标int index;public int[] findOrder(int numCourses, int[][] prerequisites) {edges = new ArrayList<List<Integer>>();for (int i = 0; i < numCourses; ++i) {edges.add(new ArrayList<Integer>());}indeg = new int[numCourses];result = new int[numCourses];index = 0;for (int[] info : prerequisites) {edges.get(info[1]).add(info[0]);++indeg[info[0]];}Queue<Integer> queue = new LinkedList<Integer>();// 将所有入度为 0 的节点放入队列中for (int i = 0; i < numCourses; ++i) {if (indeg[i] == 0) {queue.offer(i);}}while (!queue.isEmpty()) {// 从队首取出一个节点int u = queue.poll();// 放入答案中result[index++] = u;for (int v: edges.get(u)) {--indeg[v];// 如果相邻节点 v 的入度为 0，就可以选 v 对应的课程了if (indeg[v] == 0) {queue.offer(v);}}}if (index != numCourses) {return new int[0];}return result;}
}

时间复杂度: O(n+m)，其中n为课程数，m为先修课程的要求数。这其实就是对图进行广度优先搜索的时间复杂度。
空间复杂度: O(n+m)。题目中是以列表形式给出的先修课程关系，为了对图进行深度优先搜索，我们需要存储成邻接表的形式，空间复杂度为O(n+m)。在深度优先搜索的过程中，我们需要最多O(n)的栈空间（递归）进行深度优先搜索，并且还需要若干个O(n)的空间存储节点状态、最终答案等。