acwing算法提高之动态规划--状态压缩DP

1 基础知识

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2 模板

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3 工程化

题目1：小国王。

解题思路：状态压缩DP。

状态定义f[i][j][a]：表示已经考虑了前i行，并且摆放了j个国王，且第i行的状态是a的总方案数。

定义第i行的合理状态a：二进制表示中没有连续的两个1。与第i-1行不冲突，比如第i-1行的状态是b，那么需要满足a & b == 0和a | b没有连续的两个1。

状态转移，先计算出所有合法的状态，存储在向量states中，然后预先处理出每个状态a可以从状态b转移过来unordered_map<int, vector<int>> g。

C++代码如下，

#include <iostream>
#include <vector>
#include <unordered_map>using namespace std;const int N = 12, M = 1 << N;
int n, m;
long long f[N][N*N][M];
vector<int> states; //合法的状态
unordered_map<int,vector<int>> g;bool check(int x) {//是否存在连续的两个1for (int i = 0; i < 31; ++i) {if ((x >> i & 1) && (x >> (i + 1) & 1)) {return false; //非法的状态}    }return true;
}int get_cnt(int x) {//二进制中1的个数int res = 0;for (int i = 0; i < 31; ++i) {if (x >> i & 1) res += 1;}return res;
}int main() {cin >> n >> m;for (int i = 0; i < 1 << n; ++i) {if (check(i)) {states.emplace_back(i);}}for (auto a : states) {for (auto b : states) {if ((a & b) == 0 && check(a | b)) {g[a].emplace_back(b);}}}//初始化状态f[0][0][0] = 1;for (int i = 1; i <= n + 1; ++i) {for (int j = 0; j <= m; ++j) {for (auto a : states) {for (auto b : g[a]) {int cnt = get_cnt(a);if (j >= cnt) {f[i][j][a] += f[i-1][j-cnt][b];}}}}}cout << f[n+1][m][0] << endl;return 0;   
}

题目2：玉米田。

状态定义f[i][a]：考虑前i行，且第i行的状态是a的所有方案数。

第i行的状态a需要满足：二进制表示中没有两个相邻的1。与第i-1行的状态b不冲突，即(a & b) == 0。只能在肥沃的土地种玉米。

可以预处理出合法的状态，存储在向量states中，然后考虑每一行的肥沃土地，可以换一种思路，将贫瘠的土地构成的状态记为row[i]，则需要满足(a & row[i]) == 0。

C++代码如下，

#include <iostream>
#include <vector>
#include <unordered_map>using namespace std;const int N = 15, M = 1 << N, mod = 1e8;
int n, m;
vector<int> row; //表示不育
vector<int> states;
unordered_map<int, vector<int>> g; //状态a可以由状态b转移过来
int f[N][M];bool check(int x) {for (int i = 0; i < 31; ++i) {if ((x >> i & 1) && (x >> (i + 1) & 1)) {return false; //非法状态}}return true; //合法状态
}int main() {cin >> n >> m; //n行m列row.emplace_back(0);for (int i = 0; i < n; ++i) {int t = 0;for (int j = 0; j < m; ++j) {int x;cin >> x;if (x == 0) {t += 1 << j;}}row.emplace_back(t);//不育}for (int i = 0; i < 1 << m; ++i) {if (check(i)) {states.emplace_back(i);}}for (auto a : states) {for (auto b : states) {if ((a & b) == 0) {g[a].emplace_back(b);}}   }//状态计算f[0][0] = 1;for (int i = 1; i <= n + 1; ++i) {for (auto a : states) {if (a & row[i]) continue;for (auto b : g[a]) {if (b & row[i-1]) continue;if ((a & b) == 0) {f[i][a] = (f[i][a] + (f[i-1][b] % mod)) % mod;}}}}cout << f[n+1][0] << endl;return 0;
}

题目3：炮兵阵地。

解题思路：状态压缩DP。由于空间有限，所以需要用到滚动数组，在原地址上更新滚动数组，暂时没有理解到本质，先空着。

状态定义f[i][a][b]：考虑前i行，且第i-1行的状态是a，第i行的状态是b，该case下的最大摆放炮兵的数目。

合法状态：两个1之间至少空了2个位置。第i行、第i-1行和第i-2行任意两个不能互相攻击到，记第i-1行的状态为a，第i行的状态为b，第i-2行的状态为c，那么有((a & b) | (a & c) | (b & c)) == 0。

同时，还有一个额外需要考虑的，就是山顶不能放置炮兵，记第i行山顶的状态为row[i]，那么需要满足(b & row[i]) == 0。

C++代码如下，

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <unordered_map>using namespace std;const int N = 110, M = 1 << 12;int n, m;
vector<int> states;
vector<int> row(N, 0);
int f[2][M][M];bool check(int x) {for (int i = 0; i < 31; ++i) {if ((x >> i & 1) && ((x >> (i + 1) & 1) || (x >> (i + 2) & 1))) {return false; //非法状态}}return true;
}int get_count(int x) {int res = 0;for (int i = 0; i < 31; ++i) {if (x >> i & 1) res += 1;}return res;
}int main() {cin >> n >> m;for (int i = 1; i <= n; ++i) {int t = 0;for (int j = 0; j < m; ++j) {char c;cin >> c;if (c == 'H') {t += 1 << j;}}row[i] = t;}//处理合理状态for (int i = 0; i < 1 << m; ++i) {if (check(i)) {states.emplace_back(i);}}//计算状态for (int i = 1; i <= n; ++i) {for (auto a : states) {//第i-1行的状态是afor (auto b : states) { //第i行的状态是bfor (auto c : states) {//第i-2行的状态是cif ((a & row[i-1]) || (b & row[i])) continue; //山上不能放置炮兵if ((a & b) || (a & c) || (b & c)) continue; //行与行之间不能攻击到f[i & 1][a][b] = max(f[i & 1][a][b], f[i - 1 & 1][c][a] + get_count(b));}}}}int res = 0;for (auto a : states) {for (auto b : states) {res = max(res, f[n & 1][a][b]);}}cout << res << endl;return 0;
}

题目4：愤怒的小鸟。

解题思路：没有看懂，有时间再推敲。

C++代码如下，

#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>#define x first
#define y secondusing namespace std;typedef pair<double, double> PDD;const int N = 18, M = 1 << N;
const double eps = 1e-8;int n, m;
PDD q[N];
int path[N][N];
int f[M];int cmp(double x, double y) {if (fabs(x - y) < eps) return 0;if (x < y) return -1;return 1;
}int main() {int T;cin >> T;while (T--) {cin >> n >> m;for (int i = 0; i < n; ++i) cin >> q[i].x >> q[i].y;memset(path, 0, sizeof path);for (int i = 0; i < n; ++i) {path[i][i] = 1 << i;for (int j = 0; j < n; ++j) {double x1 = q[i].x, y1 = q[i].y;double x2 = q[j].x, y2 = q[j].y;if (!cmp(x1, x2)) continue;double a = (y1 / x1 - y2 / x2) / (x1 - x2);double b = y1 / x1 - a * x1;if (cmp(a, 0) >= 0) continue;int state = 0;for (int k = 0; k < n; ++k) {double x = q[k].x, y = q[k].y;if (!cmp(a * x * x + b * x, y)) state += 1 << k;}path[i][j] = state;}}memset(f, 0x3f, sizeof f);f[0] = 0;for (int i = 0; i + 1 < 1 << n; ++i) {int x = 0;for (int j = 0; j < n; ++j) {if (!(i >> j & 1)) {x = j;break;}}for (int j = 0; j < n; ++j) {f[i | path[x][j]] = min(f[i | path[x][j]], f[i] + 1);}}cout << f[(1 << n) - 1] << endl;}return 0;
}