题目描述
斐波那契数,通常用 F(n) 表示,形成的序列称为斐波那契数列。该数列由 0 和 1 开始,后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是:
F(0) = 0,F(1) = 1
F(n) = F(n - 1) + F(n - 2),其中 n > 1。
给定 N,计算 F(n)。
示例 1:
输入:2
输出:1
解释:F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1。
示例 2:
输入:3
输出:2
解释:F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2。
示例 3:
输入:4
输出:3
解释:F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3。
解题思路
动态规划
- 定义状态: 设
dp[i]
表示斐波那契数列的第i
项。 - 状态转移方程:
dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
,即第i
项等于第i-1
项和第i-2
项的和。 - 初始状态:
dp[0] = 0
,dp[1] = 1
。 - 遍历顺序: 从小到大遍历,计算每一项的值。
特殊案例
- 如果输入
n
为 0 或 1,则直接返回n
。
C#代码实现
public int Fib(int n) {// 如果N等于0或者1,直接返回Nif (n == 0 || n == 1) {return n;}// 创建一个长度为N+1的数组dpint[] dp = new int[n + 1];// 初始化dp数组,dp[0]和dp[1]都等于0dp[0] = 0;dp[1] = 1;// 从2开始遍历,每次循环dp[i]等于dp[i-1]和dp[i-2]的和for (int i = 2; i <= n; i++) {dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];}// 返回dp[n]return dp[n];
}
C代码实现
int fib(int n) {// 如果N等于0或者1,直接返回Nif (n == 0 || n == 1) {return n;}// 动态规划,dp[i]表示第i个斐波那契数int* dp = (int*)malloc(sizeof(int) * (n + 1));// 初始化dp[0]和dp[1]dp[0] = 0;dp[1] = 1;// 从2开始,计算斐波那契数for (int i = 2; i <= n; i++) {// 递推公式:dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];}// 记录结果int result = dp[n];// 释放内存free(dp);return result;
}
时间复杂度和空间复杂度
- 时间复杂度:O(n),其中 n 是斐波那契数列的项数。需要计算每一项的值。
- 空间复杂度:O(n)。使用了一个大小为 n+1 的数组来保存中间结果。